L/C контур — Задание 13 ЕГЭ по физике №00015480

Идея

В идеальном колебательном контуре полная энергия никуда не девается — она просто «перетекает» между конденсатором и катушкой. Когда конденсатор заряжен максимально, вся энергия сидит в нём (в электрическом поле). Когда конденсатор разряжен, вся энергия — в катушке (в магнитном поле). В промежуточные моменты энергия поделена между ними, но сумма всегда одна и та же.

Запишем это законом сохранения энергии: $W_{полн}=W_C+W_L$, где энергия конденсатора $W_C=\dfrac{q^2}{2C}$. Отсюда энергия катушки в любой момент: $W_L=W_{полн}-\dfrac{q^2}{2C}$.

Шаг 1. Снимаем данные из таблицы

Заряд колеблется от $+2\cdot10^{-9}$ Кл до $-2\cdot10^{-9}$ Кл — значит, амплитуда заряда $q_{max}=2\cdot10^{-9}$ Кл. Именно в моменты, когда $q=\pm q_{max}$ (например, при $t=0$), конденсатор заряжен максимально и вся энергия контура — это его энергия. Поэтому полная энергия контура: $W_{полн}=\dfrac{q_{max}^2}{2C}$.

В нужный нам момент $t=3\cdot10^{-6}$ с из таблицы заряд равен $q=-1{,}42\cdot10^{-9}$ Кл (по модулю это $q_{max}/\sqrt2$). Знак для энергии не важен — в формулу входит $q^2$.

Шаг 2. Считаем энергию катушки

Подставим в $W_L=\dfrac{q_{max}^2-q^2}{2C}$:

$q_{max}^2=(2\cdot10^{-9})^2=4\cdot10^{-18}$ Кл², а $q^2=(1{,}42\cdot10^{-9})^2\approx2\cdot10^{-18}$ Кл².

$W_L=\dfrac{4\cdot10^{-18}-2\cdot10^{-18}}{2\cdot50\cdot10^{-12}}=\dfrac{2\cdot10^{-18}}{10^{-10}}=2\cdot10^{-8}$ Дж $=20\cdot10^{-9}$ Дж.

По-человечески: раз модуль заряда стал ровно в $\sqrt2$ раз меньше амплитудного, то $q^2$ — ровно половина от $q_{max}^2$. Значит, конденсатор держит половину всей энергии, а вторая половина — в катушке. Полная энергия $W_{полн}=\dfrac{(2\cdot10^{-9})^2}{2\cdot50\cdot10^{-12}}=40$ нДж, половина от неё — $20$ нДж.