ID: 00015476
Прямоугольный треугольник расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F=10 см, как показано на рисунке (см. рисунок). Катет треугольника, расположенный на главной оптической оси, имеет длину c=4 см, а его гипотенуза составляет угол \alpha=60^\circ с главной оптической осью линзы. Определите угол, который составляет с главной оптической осью линзы гипотенуза даваемого линзой изображения этого треугольника. Постройте изображение треугольника в линзе.
Источник: Сборник Гиголо
Гипотенуза — это отрезок, соединяющий две точки: вершину прямого угла, которая стоит прямо на оптической оси, и верхнюю вершину треугольника. Линза строит изображение каждой точки отдельно, поэтому давайте найдём, куда уедут именно эти две точки, а потом просто соединим их — наклон получившегося отрезка к оси и будет искомым углом.
Работают две вещи: формула тонкой линзы \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d'} (она говорит, на каком расстоянии d' от линзы окажется изображение точки, стоящей на расстоянии d) и линейное увеличение \Gamma=\dfrac{d'}{d} (во столько раз меняется высота точки над осью).
По рисунку прямой угол треугольника (а значит и его вертикальный катет) находится в точке 2F, то есть на расстоянии d_1=2F=20 см от линзы. Катет на оси имеет длину c=4 см и тянется к линзе, поэтому вершина с углом \alpha лежит на оси на расстоянии d_2=2F-c=20-4=16 см.
Высота вертикального катета (это высота верхней вершины над осью): h=c\,\mathrm{tg}\,\alpha=4\cdot\mathrm{tg}\,60^\circ=4\sqrt{3}\approx6{,}93 см.
Верхняя вершина стоит над точкой 2F. Любой предмет в 2F даёт изображение тоже в 2F с той же высотой (увеличение по модулю равно 1), только перевёрнутое. Значит её изображение лежит на расстоянии d_1'=2F=20 см от линзы по другую сторону, на высоте h'=h=4\sqrt{3} см (с другой стороны от оси).
Вершина с углом \alpha стоит прямо на оси (d_2=16 см), поэтому её изображение тоже останется на оси (высота 0). Найдём, на каком расстоянии: d_2'=\dfrac{d_2 F}{d_2-F}=\dfrac{16\cdot10}{16-10}=\dfrac{160}{6}=\dfrac{80}{3}\approx26{,}7 см.
Теперь у нас две точки изображения: одна на оси на расстоянии \dfrac{80}{3} см, вторая — на высоте 4\sqrt{3} см над (точнее, под) осью на расстоянии 20 см. Горизонтальный сдвиг между ними вдоль оси: \Delta x=\dfrac{80}{3}-20=\dfrac{20}{3}\approx6{,}67 см.
Наклон гипотенузы изображения к оси: \mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{h'}{\Delta x}=\dfrac{4\sqrt{3}}{20/3}=\dfrac{12\sqrt{3}}{20}=\dfrac{3\sqrt{3}}{5}\approx1{,}04.
Отсюда \beta=\mathrm{arctg}\,1{,}04\approx46^\circ.
Ответ: \beta\approx46^\circ.