ID: 00015476
Прямоугольный треугольник расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием $F=10$ см, как показано на рисунке (см. рисунок). Катет треугольника, расположенный на главной оптической оси, имеет длину $c=4$ см, а его гипотенуза составляет угол $\alpha=60^\circ$ с главной оптической осью линзы. Определите угол, который составляет с главной оптической осью линзы гипотенуза даваемого линзой изображения этого треугольника. Постройте изображение треугольника в линзе.
Источник: Сборник Гиголо
Гипотенуза — это отрезок, соединяющий две точки: вершину прямого угла, которая стоит прямо на оптической оси, и верхнюю вершину треугольника. Линза строит изображение каждой точки отдельно, поэтому давайте найдём, куда уедут именно эти две точки, а потом просто соединим их — наклон получившегося отрезка к оси и будет искомым углом.
Работают две вещи: формула тонкой линзы $\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}$ (она говорит, на каком расстоянии $d'$ от линзы окажется изображение точки, стоящей на расстоянии $d$) и линейное увеличение $\Gamma=\dfrac{d'}{d}$ (во столько раз меняется высота точки над осью).
По рисунку прямой угол треугольника (а значит и его вертикальный катет) находится в точке $2F$, то есть на расстоянии $d_1=2F=20$ см от линзы. Катет на оси имеет длину $c=4$ см и тянется к линзе, поэтому вершина с углом $\alpha$ лежит на оси на расстоянии $d_2=2F-c=20-4=16$ см.
Высота вертикального катета (это высота верхней вершины над осью): $h=c\,\mathrm{tg}\,\alpha=4\cdot\mathrm{tg}\,60^\circ=4\sqrt{3}\approx6{,}93$ см.
Верхняя вершина стоит над точкой $2F$. Любой предмет в $2F$ даёт изображение тоже в $2F$ с той же высотой (увеличение по модулю равно $1$), только перевёрнутое. Значит её изображение лежит на расстоянии $d_1'=2F=20$ см от линзы по другую сторону, на высоте $h'=h=4\sqrt{3}$ см (с другой стороны от оси).
Вершина с углом $\alpha$ стоит прямо на оси ($d_2=16$ см), поэтому её изображение тоже останется на оси (высота $0$). Найдём, на каком расстоянии: $d_2'=\dfrac{d_2 F}{d_2-F}=\dfrac{16\cdot10}{16-10}=\dfrac{160}{6}=\dfrac{80}{3}\approx26{,}7$ см.
Теперь у нас две точки изображения: одна на оси на расстоянии $\dfrac{80}{3}$ см, вторая — на высоте $4\sqrt{3}$ см над (точнее, под) осью на расстоянии $20$ см. Горизонтальный сдвиг между ними вдоль оси: $\Delta x=\dfrac{80}{3}-20=\dfrac{20}{3}\approx6{,}67$ см.
Наклон гипотенузы изображения к оси: $\mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{h'}{\Delta x}=\dfrac{4\sqrt{3}}{20/3}=\dfrac{12\sqrt{3}}{20}=\dfrac{3\sqrt{3}}{5}\approx1{,}04.$
Отсюда $\beta=\mathrm{arctg}\,1{,}04\approx46^\circ$.