ID: 00015475
Прямоугольный треугольник с катетами c=2 см и h=3 см расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F=8 см, как показано на рисунке (см. рисунок). Катет h перпендикулярен главной оптической оси и стоит на расстоянии 2F от линзы, а катет c лежит вдоль оси и направлен от точки 2F к линзе.
Чему равна площадь даваемого линзой изображения этого треугольника? Сделайте рисунок с указанием хода лучей.
Источник: Сборник Гиголо
Тут хитрость в том, что треугольник лежит «боком» к линзе: один катет (h) стоит поперёк оси, а второй (c) тянется вдоль оси. Поэтому у этих двух катетов изображения строятся по-разному, и считать их надо отдельно.
Главный инструмент — формула тонкой линзы \dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}, где d — расстояние от предмета до линзы, f — до его изображения. Поперечное (вертикальное) увеличение даёт \Gamma=\dfrac{f}{d}. Идея простая: возьмём три «угловые» точки треугольника, найдём, куда линза переносит каждую, — и по новым точкам соберём изображение.
Удобно отсчитывать расстояния вдоль оси от линзы. По рисунку:
• точка A — прямой угол, она же низ катета h и дальний конец катета c: стоит ровно на отметке 2F, то есть d_A=2F=16 см, высота 0;
• точка B — вершина катета h: то же расстояние d_B=16 см, высота h=3 см;
• точка C — ближний к линзе конец катета c: она ближе на c=2 см, значит d_C=16-2=14 см, высота 0.
\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{16}\ \Rightarrow\ f=16\ \text{см}.
Это классика: предмет на 2F даёт изображение тоже на 2F с другой стороны. Увеличение \Gamma=\dfrac{f}{d}=\dfrac{16}{16}=1. Значит изображение катета h — тоже вертикальный отрезок длиной h'=\Gamma\cdot h=1\cdot3=3 см (перевёрнутый, но длина та же). Обе точки A' и B' лежат на расстоянии f=16 см от линзы.
\dfrac{1}{f_C}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{14}=\dfrac{7-4}{56}=\dfrac{3}{56}\ \Rightarrow\ f_C=\dfrac{56}{3}\approx18{,}67\ \text{см}.
Точка C лежит на оси, поэтому её изображение C' тоже на оси, но дальше от линзы — на \dfrac{56}{3} см.
Изображение катета c — это отрезок вдоль оси между A' (на 16 см) и C' (на \tfrac{56}{3} см). Его длина c'=\dfrac{56}{3}-16=\dfrac{56-48}{3}=\dfrac{8}{3}\approx2{,}67\ \text{см}.
Получился снова прямоугольный треугольник: вертикальный катет h'=3 см (изображение h) и горизонтальный катет вдоль оси c'=\tfrac{8}{3} см (изображение c), прямой угол — в точке A'.
Площадь S'=\dfrac{1}{2}\,h'\,c'=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot\dfrac{8}{3}=4\ \text{см}^2.
Любопытно: предмет был площадью \tfrac{1}{2}\cdot2\cdot3=3 см², а изображение получилось крупнее — 4 см². Так выходит потому, что вдоль оси картинка растягивается сильнее, чем поперёк.
Ответ: S'=4 см².
S = 4 см²