ID: 00015475
Прямоугольный треугольник с катетами $c=2$ см и $h=3$ см расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием $F=8$ см, как показано на рисунке (см. рисунок). Катет $h$ перпендикулярен главной оптической оси и стоит на расстоянии $2F$ от линзы, а катет $c$ лежит вдоль оси и направлен от точки $2F$ к линзе.
Чему равна площадь даваемого линзой изображения этого треугольника? Сделайте рисунок с указанием хода лучей.
Источник: Сборник Гиголо
Тут хитрость в том, что треугольник лежит «боком» к линзе: один катет ($h$) стоит поперёк оси, а второй ($c$) тянется вдоль оси. Поэтому у этих двух катетов изображения строятся по-разному, и считать их надо отдельно.
Главный инструмент — формула тонкой линзы $$\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f},$$ где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — до его изображения. Поперечное (вертикальное) увеличение даёт $$\Gamma=\dfrac{f}{d}.$$ Идея простая: возьмём три «угловые» точки треугольника, найдём, куда линза переносит каждую, — и по новым точкам соберём изображение.
Удобно отсчитывать расстояния вдоль оси от линзы. По рисунку:
• точка $A$ — прямой угол, она же низ катета $h$ и дальний конец катета $c$: стоит ровно на отметке $2F$, то есть $d_A=2F=16$ см, высота $0$;
• точка $B$ — вершина катета $h$: то же расстояние $d_B=16$ см, высота $h=3$ см;
• точка $C$ — ближний к линзе конец катета $c$: она ближе на $c=2$ см, значит $d_C=16-2=14$ см, высота $0$.
$$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{16}\ \Rightarrow\ f=16\ \text{см}.$$
Это классика: предмет на $2F$ даёт изображение тоже на $2F$ с другой стороны. Увеличение $$\Gamma=\dfrac{f}{d}=\dfrac{16}{16}=1.$$ Значит изображение катета $h$ — тоже вертикальный отрезок длиной $h'=\Gamma\cdot h=1\cdot3=3$ см (перевёрнутый, но длина та же). Обе точки $A'$ и $B'$ лежат на расстоянии $f=16$ см от линзы.
$$\dfrac{1}{f_C}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{14}=\dfrac{7-4}{56}=\dfrac{3}{56}\ \Rightarrow\ f_C=\dfrac{56}{3}\approx18{,}67\ \text{см}.$$
Точка $C$ лежит на оси, поэтому её изображение $C'$ тоже на оси, но дальше от линзы — на $\dfrac{56}{3}$ см.
Изображение катета $c$ — это отрезок вдоль оси между $A'$ (на $16$ см) и $C'$ (на $\tfrac{56}{3}$ см). Его длина $$c'=\dfrac{56}{3}-16=\dfrac{56-48}{3}=\dfrac{8}{3}\approx2{,}67\ \text{см}.$$
Получился снова прямоугольный треугольник: вертикальный катет $h'=3$ см (изображение $h$) и горизонтальный катет вдоль оси $c'=\tfrac{8}{3}$ см (изображение $c$), прямой угол — в точке $A'$.
Площадь $$S'=\dfrac{1}{2}\,h'\,c'=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot\dfrac{8}{3}=4\ \text{см}^2.$$
Любопытно: предмет был площадью $\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$ см², а изображение получилось крупнее — $4$ см². Так выходит потому, что вдоль оси картинка растягивается сильнее, чем поперёк.
S = 4 см²