ID: 00015473
В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, амплитуда силы тока $I_m=50$ мА. В таблице приведены значения разности потенциалов на обкладках конденсатора, измеренные с точностью до $0{,}1$ В в последовательные моменты времени (см. рисунок).
Найдите значение электроёмкости конденсатора. Ответ выразите в нанофарадах (нФ) и округлите до целого.
$t$, мкс | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$U$, В | 0,0 | 2,8 | 4,0 | 2,8 | 0,0 | −2,8 | −4,0 | −2,8 | 0,0 |
Источник: Сборник Гиголо
В идеальном LC-контуре заряд на конденсаторе и сила тока в катушке колеблются по гармоническому закону. Если напряжение меняется как $U=U_m\cos\omega t$, то заряд $q=CU=CU_m\cos\omega t$, а сила тока — это скорость изменения заряда: $I=\dfrac{dq}{dt}=-\omega C U_m\sin\omega t$. Значит, амплитуды связаны просто: $I_m=\omega C\,U_m$. Отсюда сразу выразим ёмкость: $$C=\dfrac{I_m}{\omega\,U_m}.$$ Осталось снять с таблицы две вещи — амплитуду напряжения $U_m$ и период $T$ (через него найдём $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$).
Напряжение идёт по синусоиде: $0\to 2{,}8\to 4{,}0\to 2{,}8\to 0\to -2{,}8\to -4{,}0\to -2{,}8\to 0$. Наибольшее по модулю значение — $4{,}0$ В, это и есть амплитуда: $U_m=4{,}0$ В. (Проверка: промежуточные $2{,}8$ В — это как раз $U_m\sin 45^\circ=4{,}0\cdot 0{,}707\approx 2{,}8$ В, то есть колебание действительно гармоническое.)
Полный цикл укладывается ровно от $t=0$ мкс до $t=8$ мкс (вышли из нуля и через все максимумы-минимумы вернулись в ноль). Значит, период $T=8$ мкс $=8\cdot10^{-6}$ с.
Циклическая частота: $$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{8\cdot10^{-6}}\approx 7{,}85\cdot10^{5}\ \text{рад/с}.$$ Подставляем в формулу для ёмкости ($I_m=50$ мА $=0{,}05$ А): $$C=\dfrac{I_m}{\omega U_m}=\dfrac{0{,}05}{7{,}85\cdot10^{5}\cdot 4{,}0}\approx 1{,}59\cdot10^{-8}\ \text{Ф}.$$ Переведём в нанофарады: $1{,}59\cdot10^{-8}$ Ф $=15{,}9$ нФ $\approx 16$ нФ.