ID: 00015473
В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, амплитуда силы тока I_m=50 мА. В таблице приведены значения разности потенциалов на обкладках конденсатора, измеренные с точностью до 0{,}1 В в последовательные моменты времени (см. рисунок).
Найдите значение электроёмкости конденсатора. Ответ выразите в нанофарадах (нФ) и округлите до целого.
Источник: Сборник Гиголо
В идеальном LC-контуре заряд на конденсаторе и сила тока в катушке колеблются по гармоническому закону. Если напряжение меняется как U=U_m\cos\omega t, то заряд q=CU=CU_m\cos\omega t, а сила тока — это скорость изменения заряда: I=\dfrac{dq}{dt}=-\omega C U_m\sin\omega t. Значит, амплитуды связаны просто: I_m=\omega C\,U_m. Отсюда сразу выразим ёмкость: C=\dfrac{I_m}{\omega\,U_m}. Осталось снять с таблицы две вещи — амплитуду напряжения U_m и период T (через него найдём \omega=\dfrac{2\pi}{T}).
Напряжение идёт по синусоиде: 0\to 2{,}8\to 4{,}0\to 2{,}8\to 0\to -2{,}8\to -4{,}0\to -2{,}8\to 0. Наибольшее по модулю значение — 4{,}0 В, это и есть амплитуда: U_m=4{,}0 В. (Проверка: промежуточные 2{,}8 В — это как раз U_m\sin 45^\circ=4{,}0\cdot 0{,}707\approx 2{,}8 В, то есть колебание действительно гармоническое.)
Полный цикл укладывается ровно от t=0 мкс до t=8 мкс (вышли из нуля и через все максимумы-минимумы вернулись в ноль). Значит, период T=8 мкс =8\cdot10^{-6} с.
Циклическая частота: \omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{8\cdot10^{-6}}\approx 7{,}85\cdot10^{5}\ \text{рад/с}. Подставляем в формулу для ёмкости (I_m=50 мА =0{,}05 А): C=\dfrac{I_m}{\omega U_m}=\dfrac{0{,}05}{7{,}85\cdot10^{5}\cdot 4{,}0}\approx 1{,}59\cdot10^{-8}\ \text{Ф}. Переведём в нанофарады: 1{,}59\cdot10^{-8} Ф =15{,}9 нФ \approx 16 нФ.
Ответ: C\approx 16 нФ \;(\approx 0{,}016 мкФ).