Э/м Индукция — Задание 12 ЕГЭ по физике №00015469

Идея

Пока поле в рамке меняется, сквозь неё «течёт» меняющийся магнитный поток $\Phi=B_n\,S$ (площадь $S$ постоянна, рамка не двигается). По закону Фарадея появляется ЭДС индукции $\mathcal{E}=\left|\dfrac{d\Phi}{dt}\right|=S\left|\dfrac{dB_n}{dt}\right|$. На графике $B_n(t)$ — это просто наклон линии: где круче, там ЭДС больше. На горизонтальном участке (плато) поле не меняется $\Rightarrow$ ЭДС нет $\Rightarrow$ теплоты тоже нет.

Замкнутая рамка — это маленькая цепь с сопротивлением $R$. ЭДС гонит ток, и на сопротивлении выделяется тепло с мощностью $P=\dfrac{\mathcal{E}^2}{R}$. На каждом прямом отрезке наклон постоянный, значит и ЭДС постоянна, и тепло за этот отрезок $Q_i=\dfrac{\mathcal{E}_i^2}{R}\,t_i$. Полное тепло — сумма по всем «косым» участкам.

Считаем наклоны по графику

Участок 1 (подъём, точки $a\to b$): от $B_n=-0{,}6$ Тл при $t=0$ до $B_n=+0{,}6$ Тл при $t=4$ с. Скорость роста $$k_1=\frac{0{,}6-(-0{,}6)}{4-0}=0{,}3\ \text{Тл/с},\qquad t_1=4\ \text{с}.$$

Участок $b\to c$ ($t$ от 4 до 6 с) — горизонтальный, $B_n=0{,}6$ Тл постоянно: $\dfrac{dB_n}{dt}=0$, тепла нет.

Участок 2 (спад, точки $c\to d$): от $B_n=+0{,}6$ Тл при $t=6$ с до $B_n=-0{,}8$ Тл при $t=10$ с. По модулю $$|k_2|=\frac{|-0{,}8-0{,}6|}{10-6}=\frac{1{,}4}{4}=0{,}35\ \text{Тл/с},\qquad t_2=4\ \text{с}.$$

Собираем тепло

На каждом отрезке $\mathcal{E}_i=S|k_i|$, поэтому $$Q=\frac{S^2}{R}\Big(k_1^2\,t_1+k_2^2\,t_2\Big).$$

Подставим числа в скобки: $$k_1^2 t_1=0{,}3^2\cdot4=0{,}36,\qquad k_2^2 t_2=0{,}35^2\cdot4=0{,}49,$$ их сумма $0{,}36+0{,}49=0{,}85\ \text{Тл}^2\cdot\text{с}^{-1}$.

Выражаем площадь: $$S=\sqrt{\frac{Q\,R}{k_1^2 t_1+k_2^2 t_2}}=\sqrt{\frac{4{,}1\cdot10^{-3}\cdot0{,}2}{0{,}85}}\approx\sqrt{9{,}65\cdot10^{-4}}\approx0{,}031\ \text{м}^2.$$

То есть рамка площадью около $0{,}031$ м² ($\approx310$ см²). Проверка: при таком $S$ обратно получаем $Q=\dfrac{S^2}{R}\cdot0{,}85\approx4{,}1$ мДж — сходится.