ID: 00015406
В дно водоёма глубиной 3 м вертикально вбита свая, целиком скрытая под водой. Угол падения солнечных лучей на поверхность воды равен $30^\circ$. Свая отбрасывает на дно водоёма тень длиной 0,75 м. Постройте ход лучей, определяющих тень от сваи на дне, и вычислите высоту сваи. Показатель преломления воды $n = 4/3$.
Источник: ФИПИ
Тень на дне рисует тот луч, который чиркает по верхушке сваи и дальше идёт до дна уже под водой. Над водой солнечный луч падает под углом 30°, на поверхности преломляется и идёт под меньшим углом. Высоту сваи мы свяжем с длиной тени через этот преломлённый угол: длина тени — это горизонтальный сдвиг луча, пока он спускается на высоту сваи.
Закон преломления: $\sin\alpha = n\sin\beta$, где $\alpha=30^\circ$ — угол падения в воздухе, $\beta$ — угол в воде. Тогда $\sin\beta = \dfrac{\sin 30^\circ}{n} = \dfrac{1/2}{4/3} = \dfrac{3}{8}.$
Луч, прошедший верхушку сваи, спускается до дна на высоту сваи $h$ и за это время сдвигается по горизонтали на длину тени $L$ (свая вертикальна, её основание — прямо под верхушкой). Значит $L = h\,\tan\beta$, откуда $h = \dfrac{L}{\tan\beta}.$
Из $\sin\beta=\tfrac38$ получаем $\cos\beta=\dfrac{\sqrt{55}}{8}$ и $\tan\beta=\dfrac{3}{\sqrt{55}}$. Тогда $h = L\cdot\dfrac{\sqrt{55}}{3} = 0{,}75\cdot\dfrac{\sqrt{55}}{3} = 0{,}25\sqrt{55}\approx 1{,}85\ \text{м}.$
h = 0,25·√55 ≈ 1,85 м