ID: 00015405
На главной оптической оси тонкой собирающей линзы радиусом $5$ см расположен в двойном фокусе точечный источник света $S$. За линзой в фокусе расположен экран. Чему равен диаметр светлого пятна, создаваемого источником $S$?
Источник: ФИПИ
Линза собирает весь свет, прошедший через её круглую оправу, в одну точку — изображение источника. Получается узкий конус лучей, который сходится в эту точку. Экран мы поставили НЕ туда, где конус собрался в точку, а раньше — поэтому на экране не точка, а кружок. Его размер найдём из подобия: конус сужается равномерно, и достаточно понять, какую долю пути он прошёл до места, где станет точкой.
Источник стоит в двойном фокусе ($d = 2F$). Известный факт (или из формулы линзы $\frac{1}{F} = \frac{1}{2F} + \frac{1}{f}$): изображение тоже получается в двойном фокусе, то есть на расстоянии $2F$ за линзой. Именно там лучи сходятся в точку.
У самой линзы поперечник пучка равен её диаметру — это $2R = 10$ см (по краям оправы проходят крайние лучи). От линзы пучок сужается прямо к точке-изображению на расстоянии $2F$: у линзы ширина $2R$, в изображении — ноль. Сужение равномерное (подобные треугольники).
Экран стоит в фокусе, то есть на расстоянии $F$ от линзы. До точки-изображения (она в $2F$) остаётся ещё $2F - F = F$, а весь путь сужения — $2F$. Значит экран ровно на половине пути. На половине пути ширина пучка вдвое меньше начальной: диаметр пятна $= 2R \cdot \dfrac{2F - F}{2F} = 2R \cdot \dfrac{1}{2} = R$.
Диаметр пятна равен радиусу линзы: $d_{\text{пятна}} = R = 5$ см. Любопытно, что ответ не зависит от фокусного расстояния — только от размера линзы.
d = 5 см (0,05 м)