ID: 00015403
В домашнем радиоприёмнике, принимающем сигнал в диапазонах длинных, средних и коротких волн (длины волн \lambda от 13 м до 2600 м), индуктивности L катушек входного колебательного контура могут изменяться в пределах от 1 мкГн до 4 мГн. В каких минимальных пределах при этом должна меняться ёмкость C переменного конденсатора этого контура? Ответ выразите в фарадах.
Источник: ФИПИ
Приёмник ловит волну, когда собственная частота контура совпадает с частотой радиоволны (резонанс). Длина принимаемой волны связана с периодом колебаний: \lambda = cT, а период даёт формула Томсона T = 2\pi\sqrt{LC}. Отсюда выразим ёмкость C и найдём её крайние значения, нужные, чтобы перекрыть весь диапазон волн при заданных катушках.
\lambda = cT = 2\pi c\sqrt{LC}. Возведём в квадрат и выразим ёмкость: C = \dfrac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 L}.
Ёмкость C растёт с длиной волны \lambda и убывает с индуктивностью L. Поэтому минимальная нужная ёмкость — для самой короткой волны при самой большой индуктивности, а максимальная — для самой длинной волны при самой маленькой индуктивности.
Минимум: \lambda = 13 м, L = 4 мГн=4\cdot 10^{-3} Гн: C_{min} = \dfrac{13^2}{4\pi^2\,(3\cdot 10^8)^2\cdot 4\cdot 10^{-3}} \approx \dfrac{169}{1{,}42\cdot 10^{16}} \approx 1{,}2\cdot 10^{-14} Ф.
Максимум: \lambda = 2600 м, L = 1 мкГн=10^{-6} Гн: C_{max} = \dfrac{2600^2}{4\pi^2\,(3\cdot 10^8)^2\cdot 10^{-6}} \approx \dfrac{6{,}76\cdot 10^{6}}{3{,}55\cdot 10^{12}} \approx 1{,}9\cdot 10^{-6} Ф.
Ёмкость должна перестраиваться примерно от 1{,}2\cdot 10^{-14} Ф (около 0{,}012 пФ) до 1{,}9\cdot 10^{-6} Ф (около 1{,}9 мкФ). Подвох — верно «скрестить» крайние величины: короткой волне отвечает максимальная индуктивность, длинной — минимальная.
Ответ: примерно от 1{,}2\cdot 10^{-14} Ф до 1{,}9\cdot 10^{-6} Ф.
От C ≈ 1,2·10⁻¹⁴ Ф (≈ 0,012 пФ) до C ≈ 1,9·10⁻⁶ Ф (≈ 1,9 мкФ)