L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015403

Идея

Приёмник ловит волну, когда собственная частота контура совпадает с частотой радиоволны (резонанс). Длина принимаемой волны связана с периодом колебаний: $\lambda = cT$, а период даёт формула Томсона $T = 2\pi\sqrt{LC}$. Отсюда выразим ёмкость $C$ и найдём её крайние значения, нужные, чтобы перекрыть весь диапазон волн при заданных катушках.

Шаг 1. Связь длины волны и C

$\lambda = cT = 2\pi c\sqrt{LC}$. Возведём в квадрат и выразим ёмкость: $C = \dfrac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 L}$.

Шаг 2. Находим крайние значения

Ёмкость $C$ растёт с длиной волны $\lambda$ и убывает с индуктивностью $L$. Поэтому минимальная нужная ёмкость — для самой короткой волны при самой большой индуктивности, а максимальная — для самой длинной волны при самой маленькой индуктивности.

Минимум: $\lambda = 13$ м, $L = 4$ мГн$=4\cdot 10^{-3}$ Гн: $C_{min} = \dfrac{13^2}{4\pi^2\,(3\cdot 10^8)^2\cdot 4\cdot 10^{-3}} \approx \dfrac{169}{1{,}42\cdot 10^{16}} \approx 1{,}2\cdot 10^{-14}$ Ф.

Максимум: $\lambda = 2600$ м, $L = 1$ мкГн$=10^{-6}$ Гн: $C_{max} = \dfrac{2600^2}{4\pi^2\,(3\cdot 10^8)^2\cdot 10^{-6}} \approx \dfrac{6{,}76\cdot 10^{6}}{3{,}55\cdot 10^{12}} \approx 1{,}9\cdot 10^{-6}$ Ф.

Шаг 3. Ответ

Ёмкость должна перестраиваться примерно от $1{,}2\cdot 10^{-14}$ Ф (около $0{,}012$ пФ) до $1{,}9\cdot 10^{-6}$ Ф (около $1{,}9$ мкФ). Подвох — верно «скрестить» крайние величины: короткой волне отвечает максимальная индуктивность, длинной — минимальная.