ID: 00015401
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью C_1 = 2C, C_2 = C, C_3 = 4C, C_4 = 2C подключена к источнику постоянного тока с ЭДС \varepsilon и внутренним сопротивлением r (см. рисунок). Определите энергию конденсатора C_1.
Ответ выразите через C и \varepsilon.
Источник: ФИПИ
Главное — правильно «прочитать» схему. Источник стоит снизу: его левый провод поднимается по всей левой стороне, а правый — по всей правой. Назовём левый узел A, правый узел B. Между ними в центре есть ещё одна точка M: к ней сверху приходит провод от середины верхнего ряда (между C_1 и C_2), и снизу — от середины среднего ряда (между C_3 и C_4). Эти две середины соединены проводом, значит это один и тот же узел M.
Теперь видно, кто с кем соединён. C_1 висит между A и M, C_3 — тоже между A и M (они параллельны!). А C_2 и C_4 — оба между M и B (тоже параллельны). И эти две «пары» включены друг за другом — последовательно — между полюсами источника. То есть схема разваливается на две простые группы.
Второй ключевой момент: ток установился, конденсаторы заряжены до упора, ток в цепи не идёт. Раз тока нет, на внутреннем сопротивлении r ничего не падает, поэтому всё напряжение источника \varepsilon целиком приходится на участок A–B.
Параллельные конденсаторы складываются. Левая группа (между A и M):
C_{AM} = C_1 + C_3 = 2C + 4C = 6C.
Правая группа (между M и B):
C_{MB} = C_2 + C_4 = C + 2C = 3C.
Группы C_{AM} и C_{MB} соединены последовательно, а у последовательных конденсаторов одинаковый заряд q. Общая ёмкость:
C_{\text{общ}} = \dfrac{C_{AM}\,C_{MB}}{C_{AM}+C_{MB}} = \dfrac{6C\cdot 3C}{6C+3C} = \dfrac{18C^{2}}{9C} = 2C.
Так как всё напряжение источника лежит на A–B, заряд цепочки:
q = C_{\text{общ}}\,\varepsilon = 2C\varepsilon.
Этот же заряд q «сидит» на левой группе целиком (последовательное соединение — заряд общий). Тогда напряжение на участке A–M:
U_{AM} = \dfrac{q}{C_{AM}} = \dfrac{2C\varepsilon}{6C} = \dfrac{\varepsilon}{3}.
Проверка: на правой группе U_{MB} = \dfrac{q}{C_{MB}} = \dfrac{2C\varepsilon}{3C} = \dfrac{2\varepsilon}{3}, и сумма \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{2\varepsilon}{3} = \varepsilon — сходится с напряжением источника.
Конденсатор C_1 стоит на участке A–M, значит на нём напряжение U_{AM} = \dfrac{\varepsilon}{3} (а вовсе не всё \varepsilon — здесь и прячется главная ловушка задачи). Энергия:
W_1 = \dfrac{C_1\,U_{AM}^{2}}{2} = \dfrac{2C}{2}\left(\dfrac{\varepsilon}{3}\right)^{2} = C\cdot\dfrac{\varepsilon^{2}}{9} = \dfrac{C\varepsilon^{2}}{9}.
Ответ: W_1 = \dfrac{C\varepsilon^{2}}{9}.
W1 = Cε2/9