ID: 00015401
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью $C_1 = 2C$, $C_2 = C$, $C_3 = 4C$, $C_4 = 2C$ подключена к источнику постоянного тока с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ (см. рисунок). Определите энергию конденсатора $C_1$.
Ответ выразите через $C$ и $\varepsilon$.
Источник: ФИПИ
Главное — правильно «прочитать» схему. Источник стоит снизу: его левый провод поднимается по всей левой стороне, а правый — по всей правой. Назовём левый узел $A$, правый узел $B$. Между ними в центре есть ещё одна точка $M$: к ней сверху приходит провод от середины верхнего ряда (между $C_1$ и $C_2$), и снизу — от середины среднего ряда (между $C_3$ и $C_4$). Эти две середины соединены проводом, значит это один и тот же узел $M$.
Теперь видно, кто с кем соединён. $C_1$ висит между $A$ и $M$, $C_3$ — тоже между $A$ и $M$ (они параллельны!). А $C_2$ и $C_4$ — оба между $M$ и $B$ (тоже параллельны). И эти две «пары» включены друг за другом — последовательно — между полюсами источника. То есть схема разваливается на две простые группы.
Второй ключевой момент: ток установился, конденсаторы заряжены до упора, ток в цепи не идёт. Раз тока нет, на внутреннем сопротивлении $r$ ничего не падает, поэтому всё напряжение источника $\varepsilon$ целиком приходится на участок $A$–$B$.
Параллельные конденсаторы складываются. Левая группа (между $A$ и $M$):
$C_{AM} = C_1 + C_3 = 2C + 4C = 6C.$
Правая группа (между $M$ и $B$):
$C_{MB} = C_2 + C_4 = C + 2C = 3C.$
Группы $C_{AM}$ и $C_{MB}$ соединены последовательно, а у последовательных конденсаторов одинаковый заряд $q$. Общая ёмкость:
$C_{\text{общ}} = \dfrac{C_{AM}\,C_{MB}}{C_{AM}+C_{MB}} = \dfrac{6C\cdot 3C}{6C+3C} = \dfrac{18C^{2}}{9C} = 2C.$
Так как всё напряжение источника лежит на $A$–$B$, заряд цепочки:
$q = C_{\text{общ}}\,\varepsilon = 2C\varepsilon.$
Этот же заряд $q$ «сидит» на левой группе целиком (последовательное соединение — заряд общий). Тогда напряжение на участке $A$–$M$:
$U_{AM} = \dfrac{q}{C_{AM}} = \dfrac{2C\varepsilon}{6C} = \dfrac{\varepsilon}{3}.$
Проверка: на правой группе $U_{MB} = \dfrac{q}{C_{MB}} = \dfrac{2C\varepsilon}{3C} = \dfrac{2\varepsilon}{3}$, и сумма $\dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{2\varepsilon}{3} = \varepsilon$ — сходится с напряжением источника.
Конденсатор $C_1$ стоит на участке $A$–$M$, значит на нём напряжение $U_{AM} = \dfrac{\varepsilon}{3}$ (а вовсе не всё $\varepsilon$ — здесь и прячется главная ловушка задачи). Энергия:
$W_1 = \dfrac{C_1\,U_{AM}^{2}}{2} = \dfrac{2C}{2}\left(\dfrac{\varepsilon}{3}\right)^{2} = C\cdot\dfrac{\varepsilon^{2}}{9} = \dfrac{C\varepsilon^{2}}{9}.$
W1 = Cε2/9