Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015399

Идея

Смотри на схему как на два этапа жизни цепи. Сначала работает только левая петля с ключом К1: источник через резистор $R_1$ заряжает конденсатор $C_1$. Когда «всё устаканится» и ток прекратится, на резисторе падения напряжения нет (тока-то нет), поэтому весь конденсатор $C_1$ оказывается под полным напряжением источника $U$. Конденсатор $C_2$ в это время отрезан разомкнутым ключом К2 и стоит пустой.

Потом замыкают К2 — и часть заряда «перетекает», заряжая $C_2$. Тепло выделяется именно на этом втором этапе. Хитрость в том, что считать ток в каждый момент не нужно: тепло мы найдём через энергетический баланс — сколько работы совершил источник минус сколько энергии осело в конденсаторах.

Шаг 1. Состояние сразу после К1 (до К2)

Ток прекратился, значит через $R_1$ ток не идёт и падения на нём нет. Поэтому всё напряжение источника приложено к $C_1$:

$q_{1}^{\text{нач}} = C_1 U = 10\cdot10^{-6}\cdot 10 = 100$ мкКл.

Конденсатор $C_2$ обесточен (ключ К2 разомкнут): $q_{2}^{\text{нач}} = 0$.

Шаг 2. Конечное состояние после К2

Замкнули К2, ждём, пока ток снова прекратится. Тогда тока нет ни через $R_1$, ни через $R_2$, и падений на резисторах опять нет. Идём по проводам схемы: верхняя обкладка $C_2$ через замкнутый ключ К2 сидит на том же потенциале, что и верхняя обкладка $C_1$, а нижняя обкладка $C_2$ через $R_2$ — на потенциале нижней обкладки $C_1$. Значит на обоих конденсаторах в итоге одинаковое напряжение, равное $U$:

$q_{1}^{\text{кон}} = C_1 U = 100$ мкКл (не изменился!),   $q_{2}^{\text{кон}} = C_2 U = 5\cdot10^{-6}\cdot 10 = 50$ мкКл.

Ключевой момент: заряд на $C_1$ не поменялся, а на $C_2$ появился заряд $50$ мкКл. Весь этот заряд пришёл из источника, то есть через источник прошёл заряд $\Delta q = C_2 U = 50$ мкКл.

Шаг 3. Энергетический баланс

Работа источника при прохождении через него заряда $\Delta q$:

$A = U\,\Delta q = U\cdot C_2 U = C_2 U^{2}.$

Изменение энергии, запасённой в конденсаторах. Энергия $C_1$ не изменилась (напряжение на нём то же), у $C_2$ появилась энергия $\dfrac{C_2 U^{2}}{2}$, поэтому

$\Delta W = \dfrac{C_2 U^{2}}{2}.$

По закону сохранения энергии работа источника идёт на запасённую энергию плюс тепло: $A = \Delta W + Q$, откуда

$Q = A - \Delta W = C_2 U^{2} - \dfrac{C_2 U^{2}}{2} = \dfrac{C_2 U^{2}}{2}.$

Шаг 4. Считаем число

$Q = \dfrac{C_2 U^{2}}{2} = \dfrac{5\cdot10^{-6}\cdot 10^{2}}{2} = 2{,}5\cdot10^{-4}$ Дж $=250$ мкДж.

Обрати внимание на красивый итог: при зарядке конденсатора от источника ровно половина энергии источника уходит в тепло, поэтому выделившееся тепло в точности равно энергии, осевшей в $C_2$.