ID: 00015399
В цепи, схема которой изображена на рисунке, оба конденсатора вначале разряжены. Ключ К1 замыкают, а через достаточно долгое время, когда ток в цепи прекратится, замыкают ключ К2. Какое количество теплоты Q выделится в цепи после замыкания ключа К2? Параметры цепи: U = 10 В, C_1 = 10 мкФ, C_2 = 5 мкФ.
В ответе приведите числовое значение количества теплоты.
Источник: ФИПИ
Смотри на схему как на два этапа жизни цепи. Сначала работает только левая петля с ключом К1: источник через резистор R_1 заряжает конденсатор C_1. Когда «всё устаканится» и ток прекратится, на резисторе падения напряжения нет (тока-то нет), поэтому весь конденсатор C_1 оказывается под полным напряжением источника U. Конденсатор C_2 в это время отрезан разомкнутым ключом К2 и стоит пустой.
Потом замыкают К2 — и часть заряда «перетекает», заряжая C_2. Тепло выделяется именно на этом втором этапе. Хитрость в том, что считать ток в каждый момент не нужно: тепло мы найдём через энергетический баланс — сколько работы совершил источник минус сколько энергии осело в конденсаторах.
Ток прекратился, значит через R_1 ток не идёт и падения на нём нет. Поэтому всё напряжение источника приложено к C_1:
q_{1}^{\text{нач}} = C_1 U = 10\cdot10^{-6}\cdot 10 = 100 мкКл.
Конденсатор C_2 обесточен (ключ К2 разомкнут): q_{2}^{\text{нач}} = 0.
Замкнули К2, ждём, пока ток снова прекратится. Тогда тока нет ни через R_1, ни через R_2, и падений на резисторах опять нет. Идём по проводам схемы: верхняя обкладка C_2 через замкнутый ключ К2 сидит на том же потенциале, что и верхняя обкладка C_1, а нижняя обкладка C_2 через R_2 — на потенциале нижней обкладки C_1. Значит на обоих конденсаторах в итоге одинаковое напряжение, равное U:
q_{1}^{\text{кон}} = C_1 U = 100 мкКл (не изменился!), q_{2}^{\text{кон}} = C_2 U = 5\cdot10^{-6}\cdot 10 = 50 мкКл.
Ключевой момент: заряд на C_1 не поменялся, а на C_2 появился заряд 50 мкКл. Весь этот заряд пришёл из источника, то есть через источник прошёл заряд \Delta q = C_2 U = 50 мкКл.
Работа источника при прохождении через него заряда \Delta q:
A = U\,\Delta q = U\cdot C_2 U = C_2 U^{2}.
Изменение энергии, запасённой в конденсаторах. Энергия C_1 не изменилась (напряжение на нём то же), у C_2 появилась энергия \dfrac{C_2 U^{2}}{2}, поэтому
\Delta W = \dfrac{C_2 U^{2}}{2}.
По закону сохранения энергии работа источника идёт на запасённую энергию плюс тепло: A = \Delta W + Q, откуда
Q = A - \Delta W = C_2 U^{2} - \dfrac{C_2 U^{2}}{2} = \dfrac{C_2 U^{2}}{2}.
Q = \dfrac{C_2 U^{2}}{2} = \dfrac{5\cdot10^{-6}\cdot 10^{2}}{2} = 2{,}5\cdot10^{-4} Дж =250 мкДж.
Обрати внимание на красивый итог: при зарядке конденсатора от источника ровно половина энергии источника уходит в тепло, поэтому выделившееся тепло в точности равно энергии, осевшей в C_2.
Ответ: Q = \dfrac{C_2 U^{2}}{2} = 2{,}5\cdot10^{-4} Дж = 250 мкДж.
Q = C2U2/2 = 2,5·10−4 Дж = 250 мкДж