ID: 00015398
Два плоских конденсатора ёмкостью $C$ и $2C$ соединили параллельно и зарядили до напряжения $U$. Затем ключ K разомкнули, отключив конденсаторы от источника (см. рисунок). Пространство между обкладками обоих конденсаторов заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Какой будет разность потенциалов между обкладками, если из правого конденсатора (ёмкостью $2C$) диэлектрик вытечет?
Источник: ФИПИ
Главная ловушка та же, что и в парной задаче: после размыкания ключа конденсаторы отрезаны от батарейки и замкнуты сами на себя (по-прежнему параллельны друг другу). Заряду уйти некуда — значит, суммарный заряд сохраняется. Меняется только ёмкость (из правого конденсатора уходит диэлектрик), а при том же заряде новое напряжение мы просто пересчитываем.
Диэлектрик поднимает ёмкость в $\varepsilon$ раз. Пока он в обоих конденсаторах: левый $C_1 = \varepsilon C$, правый $C_2 = 2\varepsilon C$. Соединены параллельно, заряжены до $U$, поэтому суммарный заряд:
$q = (\varepsilon C + 2\varepsilon C)\,U = 3\varepsilon C U.$
Теперь диэлектрик ушёл из правого конденсатора — у него снова вакуум, ёмкость $2C$. Левый не трогали, у него осталось $\varepsilon C$. Новая общая ёмкость:
$C_{общ} = \varepsilon C + 2C = C(\varepsilon + 2).$
Заряд тот же, ёмкость другая — делим одно на другое:
$U' = \dfrac{q}{C_{общ}} = \dfrac{3\varepsilon C U}{C(\varepsilon + 2)} = \dfrac{3\varepsilon U}{\varepsilon + 2}.$
Проверка: при $\varepsilon = 1$ получаем $U' = U$ — диэлектрика фактически не было, ничего и не поменялось. И полезно сравнить с соседней задачей: когда вытекает из меньшего конденсатора, знаменатель $1+2\varepsilon$ больше, поэтому там напряжение получается меньше — логично, ведь там "теряет" ёмкость более ёмкая часть батареи.
U′ = 3εU / (ε + 2)