ID: 00015398
Два плоских конденсатора ёмкостью C и 2C соединили параллельно и зарядили до напряжения U. Затем ключ K разомкнули, отключив конденсаторы от источника (см. рисунок). Пространство между обкладками обоих конденсаторов заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \varepsilon. Какой будет разность потенциалов между обкладками, если из правого конденсатора (ёмкостью 2C) диэлектрик вытечет?
Источник: ФИПИ
Главная ловушка та же, что и в парной задаче: после размыкания ключа конденсаторы отрезаны от батарейки и замкнуты сами на себя (по-прежнему параллельны друг другу). Заряду уйти некуда — значит, суммарный заряд сохраняется. Меняется только ёмкость (из правого конденсатора уходит диэлектрик), а при том же заряде новое напряжение мы просто пересчитываем.
Диэлектрик поднимает ёмкость в \varepsilon раз. Пока он в обоих конденсаторах: левый C_1 = \varepsilon C, правый C_2 = 2\varepsilon C. Соединены параллельно, заряжены до U, поэтому суммарный заряд:
q = (\varepsilon C + 2\varepsilon C)\,U = 3\varepsilon C U.
Теперь диэлектрик ушёл из правого конденсатора — у него снова вакуум, ёмкость 2C. Левый не трогали, у него осталось \varepsilon C. Новая общая ёмкость:
C_{общ} = \varepsilon C + 2C = C(\varepsilon + 2).
Заряд тот же, ёмкость другая — делим одно на другое:
U' = \dfrac{q}{C_{общ}} = \dfrac{3\varepsilon C U}{C(\varepsilon + 2)} = \dfrac{3\varepsilon U}{\varepsilon + 2}.
Проверка: при \varepsilon = 1 получаем U' = U — диэлектрика фактически не было, ничего и не поменялось. И полезно сравнить с соседней задачей: когда вытекает из меньшего конденсатора, знаменатель 1+2\varepsilon больше, поэтому там напряжение получается меньше — логично, ведь там "теряет" ёмкость более ёмкая часть батареи.
Ответ: U' = \dfrac{3\varepsilon U}{\varepsilon + 2}.
U′ = 3εU / (ε + 2)