ID: 00015397
Два плоских конденсатора ёмкостью $C$ и $2C$ соединили параллельно и зарядили до напряжения $U$. Затем ключ K разомкнули, отключив конденсаторы от источника (см. рисунок). Пространство между обкладками обоих конденсаторов заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Какой будет разность потенциалов между обкладками, если из левого конденсатора (ёмкостью $C$) диэлектрик вытечет?
Источник: ФИПИ
Тут важно поймать одну хитрость: как только ключ разомкнули, конденсаторы оказались отрезаны от батарейки и заперты сами на себя (они так и остались соединены параллельно друг с другом). А раз заряду деваться некуда, его суммарное количество на пластинах больше не меняется. Значит, ловим момент: суммарный заряд сохраняется. Когда диэлектрик вытечет, ёмкость левого конденсатора упадёт, общая ёмкость станет другой, и при том же заряде напряжение пересчитается само.
Диэлектрик увеличивает ёмкость в $\varepsilon$ раз. Пока он залит в оба конденсатора, их ёмкости равны $C_1 = \varepsilon C$ (левый) и $C_2 = \varepsilon\cdot 2C = 2\varepsilon C$ (правый). Они параллельны, поэтому складываются, и под напряжением $U$ на них сидит суммарный заряд:
$q = (\varepsilon C + 2\varepsilon C)\,U = 3\varepsilon C U.$
Из левого конденсатора диэлектрик ушёл — там снова вакуум (воздух), и его ёмкость стала просто $C$. Правый не тронули, у него осталось $2\varepsilon C$. Новая общая ёмкость батареи:
$C_{общ} = C + 2\varepsilon C = C(1 + 2\varepsilon).$
Заряд $q$ остался прежним (его некуда было слить), а ёмкость поменялась. Напряжение находим из $q = C_{общ}\,U'$:
$U' = \dfrac{q}{C_{общ}} = \dfrac{3\varepsilon C U}{C(1 + 2\varepsilon)} = \dfrac{3\varepsilon U}{1 + 2\varepsilon}.$
Проверка здравым смыслом: если $\varepsilon = 1$ (диэлектрика как бы и не было), формула даёт $U' = U$ — ничего не изменилось, как и должно быть.
U′ = 3εU / (1 + 2ε)