Идея

Работа сторонних сил — это работа самой батареи. Её удобно считать прямо по определению: A=\mathcal{E}\,q, где q — весь заряд, который «прокачала» батарея через себя за всё время. Значит, вся задача сводится к одному вопросу: сколько заряда в итоге прошло через источник.

Что происходит в равновесии

Посмотрим на схему. Источник \mathcal{E} своим верхним выводом идёт на конденсатор C_1, дальше через ключ K — в узел, от которого вниз отходит резистор R_1, а вправо — резистор R_2 и за ним конденсатор C_2; нижняя шина возвращает всё к минусу источника. Ключевой момент: единственный путь тока от батареи проходит через конденсатор C_1, а конденсатор постоянный ток не пропускает. Поэтому в равновесии ток в цепи равен нулю: I=0.

Раз тока нет, то на резисторах нет падения напряжения: IR_1=0 и IR_2=0. Это и есть главная ловушка задачи.

Напряжения на конденсаторах

Пойдём по потенциалам. Минус батареи (нижняя шина) примем за ноль. Через R_1 тока нет \Rightarrow верхний узел (где сходятся K, R_1, R_2) тоже имеет потенциал ноль. Через R_2 тока нет \Rightarrow верхняя обкладка C_2 тоже под нулём. Нижняя обкладка C_2 прямо на нижней шине — тоже ноль. Значит, обе обкладки C_2 под одинаковым потенциалом:

U_{C_2}=0 \;\Rightarrow\; q_2 = C_2 U_{C_2} = 0.

А вот конденсатор C_1 одной обкладкой подключён к плюсу батареи (потенциал \mathcal{E}), а другой — через замкнутый ключ к узлу с потенциалом ноль. Поэтому он заряжается на полное напряжение источника:

U_{C_1}=\mathcal{E} \;\Rightarrow\; q_1 = C_1 \mathcal{E}.

Сколько заряда прошло через батарею

Плюс батареи соединён только с обкладкой C_1. Значит, весь заряд, вышедший из источника, ушёл именно на зарядку C_1 (на C_2 в итоге ноль). Поэтому через батарею прошёл заряд

q = q_1 = C_1\mathcal{E}.

Работа сторонних сил

Подставляем в A=\mathcal{E}\,q:

A=\mathcal{E}\cdot C_1\mathcal{E}=C_1\mathcal{E}^2.

A = 100\cdot10^{-6}\ \text{Ф}\,\cdot\,(100\ \text{В})^2 = 100\cdot10^{-6}\cdot10^{4}=1\ \text{Дж}.

Проверка энергией

Работа источника должна разойтись на энергию конденсаторов плюс тепло на резисторах: A=W_{C_1}+W_{C_2}+Q. Здесь W_{C_1}=\tfrac12 C_1\mathcal{E}^2=0{,}5 Дж, W_{C_2}=0, а при зарядке конденсатора через резистор ровно половина энергии уходит в тепло: Q=0{,}5 Дж. Итого 0{,}5+0+0{,}5=1 Дж — совпало.

Обрати внимание: значения R_1, R_2 и C_2 на ответ не влияют — они влияют лишь на то, как быстро и какими путями текут токи в переходном процессе.

Ответ: A=C_1\mathcal{E}^2 = 1 Дж.