Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015394

Идея

Работа сторонних сил — это работа самой батареи. Её удобно считать прямо по определению: $A=\mathcal{E}\,q$, где $q$ — весь заряд, который «прокачала» батарея через себя за всё время. Значит, вся задача сводится к одному вопросу: сколько заряда в итоге прошло через источник.

Что происходит в равновесии

Посмотрим на схему. Источник $\mathcal{E}$ своим верхним выводом идёт на конденсатор $C_1$, дальше через ключ $K$ — в узел, от которого вниз отходит резистор $R_1$, а вправо — резистор $R_2$ и за ним конденсатор $C_2$; нижняя шина возвращает всё к минусу источника. Ключевой момент: единственный путь тока от батареи проходит через конденсатор $C_1$, а конденсатор постоянный ток не пропускает. Поэтому в равновесии ток в цепи равен нулю: $I=0$.

Раз тока нет, то на резисторах нет падения напряжения: $IR_1=0$ и $IR_2=0$. Это и есть главная ловушка задачи.

Напряжения на конденсаторах

Пойдём по потенциалам. Минус батареи (нижняя шина) примем за ноль. Через $R_1$ тока нет $\Rightarrow$ верхний узел (где сходятся $K$, $R_1$, $R_2$) тоже имеет потенциал ноль. Через $R_2$ тока нет $\Rightarrow$ верхняя обкладка $C_2$ тоже под нулём. Нижняя обкладка $C_2$ прямо на нижней шине — тоже ноль. Значит, обе обкладки $C_2$ под одинаковым потенциалом:

$U_{C_2}=0 \;\Rightarrow\; q_2 = C_2 U_{C_2} = 0.$

А вот конденсатор $C_1$ одной обкладкой подключён к плюсу батареи (потенциал $\mathcal{E}$), а другой — через замкнутый ключ к узлу с потенциалом ноль. Поэтому он заряжается на полное напряжение источника:

$U_{C_1}=\mathcal{E} \;\Rightarrow\; q_1 = C_1 \mathcal{E}.$

Сколько заряда прошло через батарею

Плюс батареи соединён только с обкладкой $C_1$. Значит, весь заряд, вышедший из источника, ушёл именно на зарядку $C_1$ (на $C_2$ в итоге ноль). Поэтому через батарею прошёл заряд

$q = q_1 = C_1\mathcal{E}.$

Работа сторонних сил

Подставляем в $A=\mathcal{E}\,q$:

$A=\mathcal{E}\cdot C_1\mathcal{E}=C_1\mathcal{E}^2.$

$A = 100\cdot10^{-6}\ \text{Ф}\,\cdot\,(100\ \text{В})^2 = 100\cdot10^{-6}\cdot10^{4}=1\ \text{Дж}.$

Проверка энергией

Работа источника должна разойтись на энергию конденсаторов плюс тепло на резисторах: $A=W_{C_1}+W_{C_2}+Q$. Здесь $W_{C_1}=\tfrac12 C_1\mathcal{E}^2=0{,}5$ Дж, $W_{C_2}=0$, а при зарядке конденсатора через резистор ровно половина энергии уходит в тепло: $Q=0{,}5$ Дж. Итого $0{,}5+0+0{,}5=1$ Дж — совпало.

Обрати внимание: значения $R_1$, $R_2$ и $C_2$ на ответ не влияют — они влияют лишь на то, как быстро и какими путями текут токи в переходном процессе.