ID: 00015392
В цепи, схема которой изображена на рисунке, по очереди замыкают ключи $K_1$–$K_5$, выжидая каждый раз достаточно длительное время до окончания процессов зарядки конденсаторов. Какое количество теплоты выделится в резисторе после замыкания ключа $K_5$? До его замыкания все остальные ключи уже были замкнуты.
Параметры цепи: $R = 100$ Ом, $C = 2$ мкФ, $U = 10$ В. Схема цепи приведена на рисунке.
Источник: ФИПИ
Смотрим на схему: источник $U$ через резистор $R$ соединён с цепочкой из пяти ключей, а между соседними ключами к общей нижней шине подвешены конденсаторы. Конденсатор $C_5$ стоит уже после последнего ключа $K_5$. Главная мысль: когда конденсатор полностью зарядился, ток через него (а значит, и через $R$) прекращается, поэтому в установившемся состоянии на резисторе нет падения напряжения и каждый «подключённый» к источнику узел оказывается под полным напряжением $U$.
К моменту замыкания $K_5$ ключи $K_1$–$K_4$ уже замкнуты и все переходные процессы закончились. Значит, верхние обкладки конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ через замкнутые ключи соединены с плюсом источника, тока нет, на $R$ падения нет — все четыре конденсатора заряжены до напряжения $U$ и несут заряд $q = CU$ каждый. А вот $C_5$ отрезан разомкнутым $K_5$, поэтому он ещё пуст: его заряд равен нулю.
Замыкаем $K_5$ — теперь и пятый конденсатор подключается к источнику. Заряжаться нужно только ему: $C_1$–$C_4$ как были под $U$, так под $U$ и остаются, их заряд не меняется. Поэтому через источник дополнительно протечёт ровно тот заряд, который осядет на $C_5$: $\Delta q = CU$.
Источник при перетекании заряда $\Delta q$ совершает работу $A_{\text{ист}} = U\,\Delta q = U\cdot CU = CU^2$. Из неё в конденсаторе $C_5$ запасается энергия $W_C = \dfrac{CU^2}{2}$, а остальное уходит в тепло. Резистор $R$ — единственный резистор в цепи (ключи и провода идеальны), поэтому вся выделившаяся теплота приходится именно на него:
$$Q = A_{\text{ист}} - W_C = CU^2 - \dfrac{CU^2}{2} = \dfrac{CU^2}{2}.$$
Заметь характерный результат: при зарядке конденсатора через резистор на резисторе всегда выделяется столько же энергии, сколько запасается в конденсаторе, и от величины $R$ это не зависит — $R$ влияет лишь на то, как долго идёт зарядка.
$$Q = \dfrac{CU^2}{2} = \dfrac{2\cdot10^{-6}\cdot 10^2}{2} = 1\cdot10^{-4}\ \text{Дж} = 100\ \text{мкДж}.$$
Q = ½CU² = 1·10⁻⁴ Дж = 100 мкДж