Идея

Схему удобно «прочитать» как два этажа. Слева — источник, дальше идут две параллельные ветви между одними и теми же верхним и нижним проводами: ветвь из двух конденсаторов (C_1 сверху, C_2 снизу) и ветвь из двух резисторов (R_1 сверху, R_2 снизу). Ключ К2 соединяет среднюю точку конденсаторов (назовём её M) со средней точкой резисторов (точка N).

Заряд через К2 — это заряд, который «перетёк» на островок между конденсаторами, когда мы соединили его проводом с серединой резисторов. Поэтому план такой: найти потенциал точки M до замыкания К2 и после, через это найти заряды конденсаторов, а разницу зарядов на «островке» M приравнять к \Delta q. Считать токи по ходу процесса не нужно — работаем только с установившимися состояниями.

Шаг 1. Что происходит после К1, пока К2 разомкнут

Замкнули только К1 и долго ждём. Конденсаторы постоянный ток не пропускают, поэтому ветвь C_1–C_2 — это два последовательно соединённых конденсатора под полным напряжением источника \varepsilon, а точка M между ними «висит» изолированно (К2 разомкнут) и изначально была незаряжена.

У последовательных конденсаторов заряд одинаков, а напряжение делится обратно ёмкостям. Возьмём потенциал нижнего провода за нуль, тогда верхний провод имеет потенциал \varepsilon. Напряжение на C_2 (нижнем):

U_{C_2} = \varepsilon\,\dfrac{C_1}{C_1+C_2} = \varepsilon\cdot\dfrac{1}{1+2} = \dfrac{\varepsilon}{3}.

Значит потенциал средней точки конденсаторов

\varphi_M^{(1)} = U_{C_2} = \dfrac{\varepsilon}{3}.

Заряд на каждом конденсаторе одинаков и равен q^{(1)} = \dfrac{C_1 C_2}{C_1+C_2}\,\varepsilon = \dfrac{2}{3}\varepsilon (в мкКл, если \varepsilon в вольтах). Эти числа нам по отдельности не так важны — важен потенциал точки M.

Шаг 2. Что станет после замыкания К2

Теперь точка M соединена проводом с точкой N — серединой резисторов. Важно: ток через ветвь R_1–R_2 как тёк от верхнего провода к нижнему, так и течёт (резисторы соединяют плюс и минус источника напрямую), а вот через конденсаторы в установившемся режиме тока нет. Поэтому потенциал точки N задаёт обычный резисторный делитель (закон Ома для участка цепи):

\varphi_N = \varepsilon\,\dfrac{R_2}{R_1+R_2} = \varepsilon\cdot\dfrac{3}{2+3} = \dfrac{3\varepsilon}{5}.

Так как К2 замкнут, \varphi_M^{(2)} = \varphi_N = \dfrac{3\varepsilon}{5}. Новые напряжения и заряды конденсаторов:

U_{C_1}' = \varepsilon - \dfrac{3\varepsilon}{5} = \dfrac{2\varepsilon}{5}, \qquad q_1' = C_1 U_{C_1}' = 1\cdot\dfrac{2\varepsilon}{5} = \dfrac{2\varepsilon}{5};

U_{C_2}' = \dfrac{3\varepsilon}{5} - 0 = \dfrac{3\varepsilon}{5}, \qquad q_2' = C_2 U_{C_2}' = 2\cdot\dfrac{3\varepsilon}{5} = \dfrac{6\varepsilon}{5}.

Шаг 3. Сколько заряда прошло через К2

Островок M — это нижняя обкладка C_1 (на ней заряд -q_1) плюс верхняя обкладка C_2 (на ней заряд +q_2). Заряд, который пришёл на этот островок через ключ К2, равен изменению суммарного заряда островка.

До замыкания К2 островок был электронейтрален (последовательные конденсаторы, -q^{(1)}+q^{(1)}=0):

Q_M^{(1)} = 0.

После замыкания К2:

Q_M^{(2)} = -q_1' + q_2' = -\dfrac{2\varepsilon}{5} + \dfrac{6\varepsilon}{5} = \dfrac{4\varepsilon}{5}.

Через ключ К2 протёк заряд

\Delta q = \left|Q_M^{(2)} - Q_M^{(1)}\right| = \dfrac{4\varepsilon}{5}.

Шаг 4. Находим ЭДС

Подставляем \Delta q = 4 мкКл (ёмкости в мкФ дают заряд в мкКл, если \varepsilon в вольтах):

\dfrac{4\varepsilon}{5} = 4 \;\Rightarrow\; \varepsilon = 5\ \text{В}.

Проверка по смыслу: при \varepsilon = 5 В потенциал точки M подскакивает с \varepsilon/3 \approx 1{,}67 В до 3\varepsilon/5 = 3 В — островок заряжается положительно, и именно этот «прирост» в 4 мкКл и проходит через ключ. Сходится.

Ответ: \varepsilon = \dfrac{5\,\Delta q}{4} = 5 В.