Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015391

Идея

Схему удобно «прочитать» как два этажа. Слева — источник, дальше идут две параллельные ветви между одними и теми же верхним и нижним проводами: ветвь из двух конденсаторов ($C_1$ сверху, $C_2$ снизу) и ветвь из двух резисторов ($R_1$ сверху, $R_2$ снизу). Ключ К2 соединяет среднюю точку конденсаторов (назовём её $M$) со средней точкой резисторов (точка $N$).

Заряд через К2 — это заряд, который «перетёк» на островок между конденсаторами, когда мы соединили его проводом с серединой резисторов. Поэтому план такой: найти потенциал точки $M$ до замыкания К2 и после, через это найти заряды конденсаторов, а разницу зарядов на «островке» $M$ приравнять к $\Delta q$. Считать токи по ходу процесса не нужно — работаем только с установившимися состояниями.

Шаг 1. Что происходит после К1, пока К2 разомкнут

Замкнули только К1 и долго ждём. Конденсаторы постоянный ток не пропускают, поэтому ветвь $C_1$–$C_2$ — это два последовательно соединённых конденсатора под полным напряжением источника $\varepsilon$, а точка $M$ между ними «висит» изолированно (К2 разомкнут) и изначально была незаряжена.

У последовательных конденсаторов заряд одинаков, а напряжение делится обратно ёмкостям. Возьмём потенциал нижнего провода за нуль, тогда верхний провод имеет потенциал $\varepsilon$. Напряжение на $C_2$ (нижнем):

$U_{C_2} = \varepsilon\,\dfrac{C_1}{C_1+C_2} = \varepsilon\cdot\dfrac{1}{1+2} = \dfrac{\varepsilon}{3}.$

Значит потенциал средней точки конденсаторов

$\varphi_M^{(1)} = U_{C_2} = \dfrac{\varepsilon}{3}.$

Заряд на каждом конденсаторе одинаков и равен $q^{(1)} = \dfrac{C_1 C_2}{C_1+C_2}\,\varepsilon = \dfrac{2}{3}\varepsilon$ (в мкКл, если $\varepsilon$ в вольтах). Эти числа нам по отдельности не так важны — важен потенциал точки $M$.

Шаг 2. Что станет после замыкания К2

Теперь точка $M$ соединена проводом с точкой $N$ — серединой резисторов. Важно: ток через ветвь $R_1$–$R_2$ как тёк от верхнего провода к нижнему, так и течёт (резисторы соединяют плюс и минус источника напрямую), а вот через конденсаторы в установившемся режиме тока нет. Поэтому потенциал точки $N$ задаёт обычный резисторный делитель (закон Ома для участка цепи):

$\varphi_N = \varepsilon\,\dfrac{R_2}{R_1+R_2} = \varepsilon\cdot\dfrac{3}{2+3} = \dfrac{3\varepsilon}{5}.$

Так как К2 замкнут, $\varphi_M^{(2)} = \varphi_N = \dfrac{3\varepsilon}{5}$. Новые напряжения и заряды конденсаторов:

$U_{C_1}' = \varepsilon - \dfrac{3\varepsilon}{5} = \dfrac{2\varepsilon}{5}, \qquad q_1' = C_1 U_{C_1}' = 1\cdot\dfrac{2\varepsilon}{5} = \dfrac{2\varepsilon}{5};$

$U_{C_2}' = \dfrac{3\varepsilon}{5} - 0 = \dfrac{3\varepsilon}{5}, \qquad q_2' = C_2 U_{C_2}' = 2\cdot\dfrac{3\varepsilon}{5} = \dfrac{6\varepsilon}{5}.$

Шаг 3. Сколько заряда прошло через К2

Островок $M$ — это нижняя обкладка $C_1$ (на ней заряд $-q_1$) плюс верхняя обкладка $C_2$ (на ней заряд $+q_2$). Заряд, который пришёл на этот островок через ключ К2, равен изменению суммарного заряда островка.

До замыкания К2 островок был электронейтрален (последовательные конденсаторы, $-q^{(1)}+q^{(1)}=0$):

$Q_M^{(1)} = 0.$

После замыкания К2:

$Q_M^{(2)} = -q_1' + q_2' = -\dfrac{2\varepsilon}{5} + \dfrac{6\varepsilon}{5} = \dfrac{4\varepsilon}{5}.$

Через ключ К2 протёк заряд

$\Delta q = \left|Q_M^{(2)} - Q_M^{(1)}\right| = \dfrac{4\varepsilon}{5}.$

Шаг 4. Находим ЭДС

Подставляем $\Delta q = 4$ мкКл (ёмкости в мкФ дают заряд в мкКл, если $\varepsilon$ в вольтах):

$\dfrac{4\varepsilon}{5} = 4 \;\Rightarrow\; \varepsilon = 5\ \text{В}.$

Проверка по смыслу: при $\varepsilon = 5$ В потенциал точки $M$ подскакивает с $\varepsilon/3 \approx 1{,}67$ В до $3\varepsilon/5 = 3$ В — островок заряжается положительно, и именно этот «прирост» в 4 мкКл и проходит через ключ. Сходится.