ID: 00015386
В постоянном магнитном поле заряженная частица движется по окружности. Когда индукцию магнитного поля стали медленно увеличивать, обнаружилось, что скорость частицы изменяется так, что кинетическая энергия частицы оказывается пропорциональной частоте её обращения. Найдите радиус орбиты частицы в поле с индукцией $B$, если в поле с индукцией $B_0$ он равен $R_0$.
Источник: ФИПИ
Частица бегает по кругу, потому что магнитное поле гнёт её траекторию. Свяжем три вещи: радиус круга, частоту обращения и кинетическую энергию — все они выражаются через скорость и поле. А дальше используем подсказку из условия: энергия пропорциональна частоте.
Сила Лоренца играет роль центростремительной: $qvB = \dfrac{mv^2}{R}$, отсюда радиус $R = \dfrac{mv}{qB}$. Частота обращения (сколько кругов в секунду) от скорости не зависит: $f = \dfrac{v}{2\pi R} = \dfrac{qB}{2\pi m}$ — то есть $f \propto B$.
Кинетическая энергия $E_k = \dfrac{mv^2}{2}$. По условию $E_k \propto f$, а $f \propto B$, значит $E_k \propto B$. Раз $E_k \propto v^2$, получаем $v^2 \propto B$, то есть $v \propto \sqrt{B}$.
$R = \dfrac{mv}{qB} \propto \dfrac{\sqrt{B}}{B} = \dfrac{1}{\sqrt{B}}$. Сравнивая два поля: $\dfrac{R}{R_0} = \sqrt{\dfrac{B_0}{B}}$, откуда $R = R_0\sqrt{\dfrac{B_0}{B}}$.
Заметь подвох: радиус не просто падает как $1/B$, как было бы при постоянной скорости, а медленнее — потому что частица заодно разгоняется.
R = R₀·√(B₀/B)