Идея

Частица бегает по кругу, потому что магнитное поле гнёт её траекторию. Свяжем три вещи: радиус круга, частоту обращения и кинетическую энергию — все они выражаются через скорость и поле. А дальше используем подсказку из условия: энергия пропорциональна частоте.

Шаг 1. Базовые формулы для частицы в магнитном поле

Сила Лоренца играет роль центростремительной: qvB = \dfrac{mv^2}{R}, отсюда радиус R = \dfrac{mv}{qB}. Частота обращения (сколько кругов в секунду) от скорости не зависит: f = \dfrac{v}{2\pi R} = \dfrac{qB}{2\pi m} — то есть f \propto B.

Шаг 2. Используем условие «энергия пропорциональна частоте»

Кинетическая энергия E_k = \dfrac{mv^2}{2}. По условию E_k \propto f, а f \propto B, значит E_k \propto B. Раз E_k \propto v^2, получаем v^2 \propto B, то есть v \propto \sqrt{B}.

Шаг 3. Подставляем в радиус

R = \dfrac{mv}{qB} \propto \dfrac{\sqrt{B}}{B} = \dfrac{1}{\sqrt{B}}. Сравнивая два поля: \dfrac{R}{R_0} = \sqrt{\dfrac{B_0}{B}}, откуда R = R_0\sqrt{\dfrac{B_0}{B}}.

Заметь подвох: радиус не просто падает как 1/B, как было бы при постоянной скорости, а медленнее — потому что частица заодно разгоняется.

Ответ: R = R_0\sqrt{B_0/B}