ID: 00015385
В домашнем радиоприёмнике, принимающем сигнал в диапазонах длинных, средних и коротких волн (длины волн \lambda от 13 м до 2600 м), переменный конденсатор входного колебательного контура может изменять свою ёмкость C от 50 пФ до 500 пФ. В каких минимальных пределах при этом должны меняться индуктивности L катушек этого контура? Ответ выразите в генри.
Источник: ФИПИ
Радиоприёмник «ловит» волну, когда собственная частота его контура совпадает с частотой радиоволны (резонанс). Длина принимаемой волны связана с периодом колебаний контура: \lambda = cT, а период даёт формула Томсона T = 2\pi\sqrt{LC}. Отсюда выразим L и посмотрим, какие крайние значения нужны, чтобы перекрыть весь диапазон волн при имеющемся конденсаторе.
За период T радиоволна проходит расстояние \lambda со скоростью света: \lambda = cT = 2\pi c\sqrt{LC}. Возведём в квадрат и выразим индуктивность: L = \dfrac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 C}.
Видно, что L растёт с \lambda и убывает с C. Значит наименьшая нужная индуктивность будет для самой короткой волны при самой большой ёмкости, а наибольшая — для самой длинной волны при самой маленькой ёмкости.
Минимум: \lambda = 13 м, C = 500 пФ=5\cdot 10^{-10} Ф: L_{min} = \dfrac{13^2}{4\pi^2\,(3\cdot 10^8)^2\cdot 5\cdot 10^{-10}} \approx \dfrac{169}{1{,}78\cdot 10^{9}} \approx 9{,}5\cdot 10^{-8} Гн.
Максимум: \lambda = 2600 м, C = 50 пФ=5\cdot 10^{-11} Ф: L_{max} = \dfrac{2600^2}{4\pi^2\,(3\cdot 10^8)^2\cdot 5\cdot 10^{-11}} \approx \dfrac{6{,}76\cdot 10^{6}}{1{,}78\cdot 10^{8}} \approx 3{,}8\cdot 10^{-2} Гн.
Индуктивность должна перестраиваться примерно от 9{,}5\cdot 10^{-8} Гн (около 0{,}095 мкГн) до 3{,}8\cdot 10^{-2} Гн (около 38 мГн). Подвох — правильно «скрестить» крайние значения: короткой волне отвечает максимальная ёмкость, длинной — минимальная.
Ответ: примерно от 9{,}5\cdot 10^{-8} Гн до 3{,}8\cdot 10^{-2} Гн.
От L ≈ 9,5·10⁻⁸ Гн (≈ 0,095 мкГн) до L ≈ 3,8·10⁻² Гн (≈ 38 мГн)