L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015385

Идея

Радиоприёмник «ловит» волну, когда собственная частота его контура совпадает с частотой радиоволны (резонанс). Длина принимаемой волны связана с периодом колебаний контура: $\lambda = cT$, а период даёт формула Томсона $T = 2\pi\sqrt{LC}$. Отсюда выразим $L$ и посмотрим, какие крайние значения нужны, чтобы перекрыть весь диапазон волн при имеющемся конденсаторе.

Шаг 1. Связь длины волны и L

За период $T$ радиоволна проходит расстояние $\lambda$ со скоростью света: $\lambda = cT = 2\pi c\sqrt{LC}$. Возведём в квадрат и выразим индуктивность: $L = \dfrac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 C}$.

Шаг 2. Находим крайние значения

Видно, что $L$ растёт с $\lambda$ и убывает с $C$. Значит наименьшая нужная индуктивность будет для самой короткой волны при самой большой ёмкости, а наибольшая — для самой длинной волны при самой маленькой ёмкости.

Минимум: $\lambda = 13$ м, $C = 500$ пФ$=5\cdot 10^{-10}$ Ф: $L_{min} = \dfrac{13^2}{4\pi^2\,(3\cdot 10^8)^2\cdot 5\cdot 10^{-10}} \approx \dfrac{169}{1{,}78\cdot 10^{9}} \approx 9{,}5\cdot 10^{-8}$ Гн.

Максимум: $\lambda = 2600$ м, $C = 50$ пФ$=5\cdot 10^{-11}$ Ф: $L_{max} = \dfrac{2600^2}{4\pi^2\,(3\cdot 10^8)^2\cdot 5\cdot 10^{-11}} \approx \dfrac{6{,}76\cdot 10^{6}}{1{,}78\cdot 10^{8}} \approx 3{,}8\cdot 10^{-2}$ Гн.

Шаг 3. Ответ

Индуктивность должна перестраиваться примерно от $9{,}5\cdot 10^{-8}$ Гн (около $0{,}095$ мкГн) до $3{,}8\cdot 10^{-2}$ Гн (около $38$ мГн). Подвох — правильно «скрестить» крайние значения: короткой волне отвечает максимальная ёмкость, длинной — минимальная.