ID: 00015369
В цепи, схема которой изображена на рисунке, ЭДС первого источника E_1 = 3 В, его внутреннее сопротивление r_1 = 2 Ом, ЭДС второго источника E_2 = 7 В, его внутреннее сопротивление r_2 = 1 Ом, сопротивления резисторов R_1 = 4 Ом, R_2 = 5 Ом, R_3 = 6 Ом, R_4 = 7 Ом, ёмкость конденсатора C = 100 мкФ. Найдите энергию этого конденсатора, если до включения в данную цепь он был не заряжен.
Источник: ФИПИ
Сначала посмотрим на схему. Два источника E_1 и E_2 вместе с резисторами R_1, R_2, R_3, R_4 образуют один замкнутый контур — это «большое кольцо», по которому может бежать ток. А конденсатор C висит сбоку: он включён параллельно резистору R_4 (между теми же двумя точками, что и R_4).
Ключевой момент, на котором многие спотыкаются: конденсатор в установившемся режиме — это «закрытая дверь» для постоянного тока. Заряд на нём перестал меняться, значит, через его ветвь ток не течёт. Поэтому весь ток контура идёт через R_4, а напряжение на конденсаторе равно напряжению на R_4 (они же параллельны). Дальше дело техники: найдём ток в кольце, потом U_C, потом энергию.
Так как конденсатор тока не пропускает, кольцо получается чисто последовательным: ток один и тот же во всех резисторах и в обоих источниках. Обойдём контур и сложим все сопротивления подряд:
R_{общ} = r_1 + r_2 + R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = 2 + 1 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 Ом.
Теперь про источники. По рисунку у обеих батарей плюс (длинная пластина) сверху. Обходя кольцо, мы проходим через E_2 в одну сторону, а через E_1 — в противоположную, то есть они работают «навстречу» друг другу. Поэтому в кольце действует их разность:
E = E_2 - E_1 = 7 - 3 = 4 В.
Закон Ома для полной (замкнутой) цепи даёт ток:
I = \dfrac{E_2 - E_1}{R_{общ}} = \dfrac{4}{25} = 0{,}16 А.
(Сильнее «толкает» источник E_2 = 7 В, поэтому ток в кольце задаёт именно он, а E_1 ему мешает — отсюда и разность ЭДС.)
Конденсатор подключён параллельно R_4, а через ветвь конденсатора ток не идёт. Значит, напряжение на нём — это просто напряжение на резисторе R_4 (падение напряжения на R_4 от того самого тока кольца):
U_C = U_{R_4} = I\,R_4 = 0{,}16 \cdot 7 = 1{,}12 В.
Здесь важно не запутаться: «работает» именно R_4, а не R_3 или другие — потому что конденсатор стоит параллельно конкретно ему.
Энергия заряженного конденсатора считается по формуле:
W = \dfrac{C\,U_C^2}{2} = \dfrac{100\cdot10^{-6}\cdot 1{,}12^2}{2} = \dfrac{100\cdot10^{-6}\cdot 1{,}2544}{2} \approx 6{,}27\cdot10^{-5} Дж.
То есть около 62{,}7 мкДж. Не забудьте перевести ёмкость из микрофарад в фарады (100 мкФ =100\cdot10^{-6} Ф) — это типичная «ловушка» в таких задачах.
Ответ: W = \dfrac{C(E_2-E_1)^2 R_4^2}{2R_{общ}^2} \approx 6{,}3\cdot10^{-5} Дж = 62{,}72 мкДж.
W = 62,72 мкДж ≈ 6,3·10−5 Дж