ID: 00015369
В цепи, схема которой изображена на рисунке, ЭДС первого источника $E_1 = 3$ В, его внутреннее сопротивление $r_1 = 2$ Ом, ЭДС второго источника $E_2 = 7$ В, его внутреннее сопротивление $r_2 = 1$ Ом, сопротивления резисторов $R_1 = 4$ Ом, $R_2 = 5$ Ом, $R_3 = 6$ Ом, $R_4 = 7$ Ом, ёмкость конденсатора $C = 100$ мкФ. Найдите энергию этого конденсатора, если до включения в данную цепь он был не заряжен.
Источник: ФИПИ
Сначала посмотрим на схему. Два источника $E_1$ и $E_2$ вместе с резисторами $R_1, R_2, R_3, R_4$ образуют один замкнутый контур — это «большое кольцо», по которому может бежать ток. А конденсатор $C$ висит сбоку: он включён параллельно резистору $R_4$ (между теми же двумя точками, что и $R_4$).
Ключевой момент, на котором многие спотыкаются: конденсатор в установившемся режиме — это «закрытая дверь» для постоянного тока. Заряд на нём перестал меняться, значит, через его ветвь ток не течёт. Поэтому весь ток контура идёт через $R_4$, а напряжение на конденсаторе равно напряжению на $R_4$ (они же параллельны). Дальше дело техники: найдём ток в кольце, потом $U_C$, потом энергию.
Так как конденсатор тока не пропускает, кольцо получается чисто последовательным: ток один и тот же во всех резисторах и в обоих источниках. Обойдём контур и сложим все сопротивления подряд:
$R_{общ} = r_1 + r_2 + R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = 2 + 1 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25$ Ом.
Теперь про источники. По рисунку у обеих батарей плюс (длинная пластина) сверху. Обходя кольцо, мы проходим через $E_2$ в одну сторону, а через $E_1$ — в противоположную, то есть они работают «навстречу» друг другу. Поэтому в кольце действует их разность:
$E = E_2 - E_1 = 7 - 3 = 4$ В.
Закон Ома для полной (замкнутой) цепи даёт ток:
$I = \dfrac{E_2 - E_1}{R_{общ}} = \dfrac{4}{25} = 0{,}16$ А.
(Сильнее «толкает» источник $E_2 = 7$ В, поэтому ток в кольце задаёт именно он, а $E_1$ ему мешает — отсюда и разность ЭДС.)
Конденсатор подключён параллельно $R_4$, а через ветвь конденсатора ток не идёт. Значит, напряжение на нём — это просто напряжение на резисторе $R_4$ (падение напряжения на $R_4$ от того самого тока кольца):
$U_C = U_{R_4} = I\,R_4 = 0{,}16 \cdot 7 = 1{,}12$ В.
Здесь важно не запутаться: «работает» именно $R_4$, а не $R_3$ или другие — потому что конденсатор стоит параллельно конкретно ему.
Энергия заряженного конденсатора считается по формуле:
$W = \dfrac{C\,U_C^2}{2} = \dfrac{100\cdot10^{-6}\cdot 1{,}12^2}{2} = \dfrac{100\cdot10^{-6}\cdot 1{,}2544}{2} \approx 6{,}27\cdot10^{-5}$ Дж.
То есть около $62{,}7$ мкДж. Не забудьте перевести ёмкость из микрофарад в фарады ($100$ мкФ $=100\cdot10^{-6}$ Ф) — это типичная «ловушка» в таких задачах.
W = 62,72 мкДж ≈ 6,3·10−5 Дж