ID: 00015361
Прямоугольник находится на главной оптической оси тонкой собирающей линзы так, как показано на рисунке. Его две бо́льшие стороны длиной $a = 30$ см параллельны линзе, при этом дальняя сторона находится на расстоянии $d_1 = 90$ см от линзы (см. рисунок). Найдите площадь изображения прямоугольника, если меньшая сторона равна $b = 18$ см, а оптическая сила линзы $D = 2{,}5$ дптр.
Источник: ФИПИ
Прямоугольник лежит «боком» к линзе: его длинные стороны (по 30 см) параллельны линзе и стоят на двух разных расстояниях — дальняя на 90 см, ближняя на $90-18=72$ см. Линза каждую из этих сторон увеличивает по-своему (ближняя ближе — увеличивается сильнее), поэтому изображение получается не прямоугольником, а трапецией. Найдём изображения обеих сторон и осевую «глубину» картинки, затем площадь трапеции.
$F=\dfrac1D=\dfrac1{2{,}5}=0{,}4$ м $=40$ см. Дальняя сторона: $d_1=90$ см, ближняя: $d_2=90-18=72$ см.
По формуле линзы $\dfrac1{f}=\dfrac1F-\dfrac1d$: для дальней $f_1=\dfrac{1}{1/40-1/90}=72$ см; для ближней $f_2=\dfrac{1}{1/40-1/72}=90$ см. Осевая глубина изображения: $\Delta f=90-72=18$ см.
Поперечное увеличение $\Gamma=f/d$. Дальняя: $\Gamma_1=\dfrac{72}{90}=0{,}8$, её образ $a_1=30\cdot0{,}8=24$ см. Ближняя: $\Gamma_2=\dfrac{90}{72}=1{,}25$, её образ $a_2=30\cdot1{,}25=37{,}5$ см.
$S=\dfrac{a_1+a_2}{2}\cdot\Delta f=\dfrac{24+37{,}5}{2}\cdot18=30{,}75\cdot18=553{,}5\ \text{см}^2.$
S ≈ 553,5 см²