ID: 00015358
Нижняя грань $AC$ прозрачного клина посеребрена и представляет собой плоское зеркало. Угол при основании клина $\alpha = 60^\circ$. Луч света падает из воздуха на клин перпендикулярно грани $AB$, отражается от грани $AC$ и испытывает полное внутреннее отражение на грани $BC$. При каком наименьшем показателе преломления материала клина $n_{\text{мин}}$ это возможно?
Источник: ФИПИ
Луч входит перпендикулярно грани $AB$, поэтому внутрь идёт без преломления. Дальше он отражается от посеребрённой грани $AC$ и подходит к грани $BC$. Чтобы на $BC$ случилось полное внутреннее отражение, угол падения там должен быть не меньше предельного угла. «Наименьший показатель преломления» отвечает граничному случаю, когда угол падения на $BC$ ровно равен предельному.
Так как луч вошёл перпендикулярно $AB$ и отразился от зеркальной грани $AC$ (угол падения равен углу отражения), его направление внутри клина задано углом при основании $\alpha = 60^\circ$. Прослеживая ход луча по рисунку, получаем, что на грань $BC$ изнутри он падает под углом $\beta = 30^\circ$ к её нормали.
Полное внутреннее отражение наступает, когда угол падения $\beta$ не меньше предельного угла $\beta_0$, для которого $\sin\beta_0 = \dfrac{1}{n}$. Граничный (наименьший $n$) случай: $\beta = \beta_0$, то есть $\sin\beta = \dfrac{1}{n_{\text{мин}}}$.
$n_{\text{мин}} = \dfrac{1}{\sin\beta} = \dfrac{1}{\sin 30^\circ} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2$. При меньшем $n$ предельный угол стал бы больше 30°, и луч на $BC$ просто вышел бы наружу, а не отразился полностью.
n_мин = 2