ID: 00015350
Металлический диск радиусом $r=10$ см с малым сопротивлением вращается в магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл, перпендикулярной плоскости диска, с угловой скоростью $\omega=100$ с$^{-1}$. Через скользящие контакты к середине и к краю диска подключён резистор сопротивлением $R=10$ кОм, и последовательно с ним — конденсатор ёмкостью $C=3$ мкФ. Каким зарядом $Q$ в установившемся режиме заряжён этот конденсатор?
Источник: ФИПИ
Вращающийся диск — это «генератор»: каждая его точка движется в магнитном поле, и вдоль радиуса наводится ЭДС (это как палочка-проводник, которую тащат поперёк поля, только их тут целый веер от центра к краю). Дальше ключевая мысль: в установившемся режиме конденсатор полностью зарядился и ток через него больше не идёт. А раз тока в ветви нет — на резисторе $R$ ничего «не падает», и всё напряжение источника-диска целиком оказывается на конденсаторе. Поэтому $R$ на ответ вообще не влияет — это «ловушка» задачи.
Точка на расстоянии $x$ от центра движется со скоростью $v=\omega x$. ЭДС всего радиуса набегает как сумма вкладов по всем точкам и равна $\varepsilon=\dfrac{1}{2}B\omega r^{2}$ (половинка — потому что скорость линейно растёт от нуля в центре до $\omega r$ на краю, берём среднюю).
$\varepsilon=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 100\cdot (0{,}1)^{2}=0{,}5$ В.
В установившемся режиме $U_C=\varepsilon$ (на $R$ нет падения), поэтому
$Q=C\,U_C=C\varepsilon=3\cdot10^{-6}\cdot 0{,}5=1{,}5\cdot10^{-6}$ Кл $=1{,}5$ мкКл.
Q = 1,5 мкКл