ID: 00015350
Металлический диск радиусом r=10 см с малым сопротивлением вращается в магнитном поле с индукцией B=1 Тл, перпендикулярной плоскости диска, с угловой скоростью \omega=100 с^{-1}. Через скользящие контакты к середине и к краю диска подключён резистор сопротивлением R=10 кОм, и последовательно с ним — конденсатор ёмкостью C=3 мкФ. Каким зарядом Q в установившемся режиме заряжён этот конденсатор?
Источник: ФИПИ
Вращающийся диск — это «генератор»: каждая его точка движется в магнитном поле, и вдоль радиуса наводится ЭДС (это как палочка-проводник, которую тащат поперёк поля, только их тут целый веер от центра к краю). Дальше ключевая мысль: в установившемся режиме конденсатор полностью зарядился и ток через него больше не идёт. А раз тока в ветви нет — на резисторе R ничего «не падает», и всё напряжение источника-диска целиком оказывается на конденсаторе. Поэтому R на ответ вообще не влияет — это «ловушка» задачи.
Точка на расстоянии x от центра движется со скоростью v=\omega x. ЭДС всего радиуса набегает как сумма вкладов по всем точкам и равна \varepsilon=\dfrac{1}{2}B\omega r^{2} (половинка — потому что скорость линейно растёт от нуля в центре до \omega r на краю, берём среднюю).
\varepsilon=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 100\cdot (0{,}1)^{2}=0{,}5 В.
В установившемся режиме U_C=\varepsilon (на R нет падения), поэтому
Q=C\,U_C=C\varepsilon=3\cdot10^{-6}\cdot 0{,}5=1{,}5\cdot10^{-6} Кл =1{,}5 мкКл.
Ответ: Q=1{,}5 мкКл.
Q = 1,5 мкКл