ID: 00015346
Конденсатор $C_1 = 1$ мкФ заряжен до напряжения $U = 300$ В и включён в последовательную цепь из резистора $R = 300$ Ом, незаряженного конденсатора $C_2 = 2$ мкФ и разомкнутого ключа K (см. рисунок). Какое количество теплоты выделится в цепи после замыкания ключа, пока ток в цепи не прекратится?
Источник: ФИПИ
Резистор тут — обманка: его значение $R$ для ответа не нужно. Важна только бухгалтерия энергии. До замыкания вся энергия сидит в заряженном конденсаторе $C_1$. После замыкания заряд частично перетекает в $C_2$, ток течёт через резистор и греет его, пока всё не успокоится. Закон сохранения энергии говорит: выделившееся тепло равно убыли энергии конденсаторов (сколько энергии "пропало" из конденсаторов — столько ушло в тепло). Нужно лишь найти конечное распределение заряда.
Начальный заряд на $C_1$: $q_0 = C_1 U = 1\cdot10^{-6}\cdot 300 = 3\cdot10^{-4}$ Кл. Энергия в начале (у $C_2$ нуль):
$W_{нач} = \dfrac{q_0^{2}}{2C_1} = \dfrac{C_1 U^{2}}{2} = \dfrac{1\cdot10^{-6}\cdot 300^{2}}{2} = 0{,}045\ \text{Дж}.$
Когда ток исчез, на резисторе нет падения напряжения, поэтому напряжения на конденсаторах сравниваются: $U_1' = U_2'$. Конденсаторы соединены так, что суммарный заряд сохраняется ($q_0$ перераспределяется). Пусть на $C_2$ перетёк заряд $\Delta q$, тогда на $C_1$ осталось $q_0-\Delta q$. Из равенства напряжений $\dfrac{q_0-\Delta q}{C_1} = \dfrac{\Delta q}{C_2}$ получаем
$\Delta q = q_0\dfrac{C_2}{C_1+C_2} = 3\cdot10^{-4}\cdot\dfrac{2}{3} = 2\cdot10^{-4}\ \text{Кл}.$
Значит, $q_1' = q_0-\Delta q = 1\cdot10^{-4}$ Кл, $q_2' = 2\cdot10^{-4}$ Кл (общее напряжение $U' = 100$ В).
$W_{кон} = \dfrac{q_1'^{2}}{2C_1} + \dfrac{q_2'^{2}}{2C_2} = \dfrac{(10^{-4})^{2}}{2\cdot10^{-6}} + \dfrac{(2\cdot10^{-4})^{2}}{2\cdot 2\cdot10^{-6}} = 0{,}005 + 0{,}01 = 0{,}015\ \text{Дж}.$
Тепло — это вся потерянная энергия:
$Q = W_{нач} - W_{кон} = 0{,}045 - 0{,}015 = 0{,}03\ \text{Дж}.$
Q = 0,03 Дж