ID: 00015339
Колебательный контур радиоприёмника настроен на длину волны $\lambda = 2000$ м. Индуктивность катушки контура $L = 6$ мкГн, максимальный ток в ней $I_{max} = 1{,}6$ мА. В контуре используется плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого $d = 2$ мм. Чему равно максимальное значение напряжённости электрического поля в конденсаторе в процессе колебаний?
Источник: ФИПИ
Задача собирается из трёх кусочков, как конструктор. Первое: длина волны, на которую настроен приёмник, задаёт период колебаний контура (свет за период проходит ровно одну длину волны). Второе: зная период и индуктивность, найдём ёмкость. Третье: из сохранения энергии вытащим максимальное напряжение на конденсаторе, а оно через расстояние между пластинами даст напряжённость поля.
Период колебаний связан с длиной волны: $T=\dfrac{\lambda}{c}=\dfrac{2000}{3\cdot10^{8}}\approx 6{,}67\cdot10^{-6}$ с. Из формулы Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$ выражаем ёмкость: $$C=\frac{T^2}{4\pi^2 L}\approx 1{,}88\cdot10^{-7}\ \text{Ф}.$$
В контуре максимум энергии катушки переходит в максимум энергии конденсатора: $$\frac{L I_{max}^2}{2}=\frac{C U_{max}^2}{2}\ \Rightarrow\ U_{max}=I_{max}\sqrt{\frac{L}{C}}.$$ Подставляем: $U_{max}=1{,}6\cdot10^{-3}\sqrt{\dfrac{6\cdot10^{-6}}{1{,}88\cdot10^{-7}}}\approx 9{,}0\cdot10^{-3}$ В.
В плоском конденсаторе поле однородное, поэтому $$E_{max}=\frac{U_{max}}{d}=\frac{9{,}0\cdot10^{-3}}{2\cdot10^{-3}}\approx 4{,}5\ \text{В/м}.$$
E_max ≈ 4,5 В/м