L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015337

Идея

Заряд и ток в контуре «качаются» в противофазе: когда заряд максимален, ток нулевой, и наоборот. Их связывает закон сохранения энергии. Удобно представить, что в данный момент часть энергии сидит в конденсаторе (через заряд $q$), а часть — в катушке (через ток $I$). Сумма этих энергий равна полной энергии, которую можно записать через амплитуду заряда $q_0$.

Шаг 1. Записываем сохранение энергии

Полная энергия = энергия конденсатора + энергия катушки в любой момент. В момент максимума заряда вся энергия в конденсаторе: $\dfrac{q_0^2}{2C}$. В произвольный момент: $$\frac{q_0^2}{2C}=\frac{q^2}{2C}+\frac{L I^2}{2}.$$ Множитель $1/C$ нам мешает, поэтому свяжем $L$ и $C$ через период.

Шаг 2. Убираем L и C через циклическую частоту

Удобно ввести циклическую частоту $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$. Известно, что амплитуды тока и заряда связаны как $I_0=\omega q_0$, а связь мгновенных значений даёт: $$q_0^2=q^2+\left(\frac{I}{\omega}\right)^2.$$ Эта формула — прямое следствие сохранения энергии (поделили на общий множитель и заменили $LC=1/\omega^2$).

Шаг 3. Считаем

$$\omega=\frac{2\pi}{6{,}3\cdot10^{-6}}\approx 9{,}97\cdot10^{5}\ \text{рад/с}.$$ $$\frac{I}{\omega}=\frac{3\cdot10^{-3}}{9{,}97\cdot10^{5}}\approx 3{,}01\cdot10^{-9}\ \text{Кл}.$$ $$q_0=\sqrt{(4\cdot10^{-9})^2+(3{,}01\cdot10^{-9})^2}\approx 5\cdot10^{-9}\ \text{Кл}.$$ Узнаёте «египетский треугольник» 3-4-5: ответ ровно 5 нКл.