ID: 00015337
В процессе колебаний в идеальном колебательном контуре в момент времени t заряд конденсатора q = 4\cdot10^{-9} Кл, а сила тока в катушке I = 3 мА. Период колебаний T = 6{,}3\cdot10^{-6} с. Найдите амплитуду заряда.
Источник: ФИПИ
Заряд и ток в контуре «качаются» в противофазе: когда заряд максимален, ток нулевой, и наоборот. Их связывает закон сохранения энергии. Удобно представить, что в данный момент часть энергии сидит в конденсаторе (через заряд q), а часть — в катушке (через ток I). Сумма этих энергий равна полной энергии, которую можно записать через амплитуду заряда q_0.
Полная энергия = энергия конденсатора + энергия катушки в любой момент. В момент максимума заряда вся энергия в конденсаторе: \dfrac{q_0^2}{2C}. В произвольный момент: \frac{q_0^2}{2C}=\frac{q^2}{2C}+\frac{L I^2}{2}. Множитель 1/C нам мешает, поэтому свяжем L и C через период.
Удобно ввести циклическую частоту \omega=\dfrac{2\pi}{T}. Известно, что амплитуды тока и заряда связаны как I_0=\omega q_0, а связь мгновенных значений даёт: q_0^2=q^2+\left(\frac{I}{\omega}\right)^2. Эта формула — прямое следствие сохранения энергии (поделили на общий множитель и заменили LC=1/\omega^2).
\omega=\frac{2\pi}{6{,}3\cdot10^{-6}}\approx 9{,}97\cdot10^{5}\ \text{рад/с}. \frac{I}{\omega}=\frac{3\cdot10^{-3}}{9{,}97\cdot10^{5}}\approx 3{,}01\cdot10^{-9}\ \text{Кл}. q_0=\sqrt{(4\cdot10^{-9})^2+(3{,}01\cdot10^{-9})^2}\approx 5\cdot10^{-9}\ \text{Кл}. Узнаёте «египетский треугольник» 3-4-5: ответ ровно 5 нКл.
Ответ: q₀ ≈ 5·10⁻⁹ Кл = 5 нКл
q₀ ≈ 5·10⁻⁹ Кл = 5 нКл