L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015333

Идея

В идеальном контуре полная энергия постоянна. В каждый момент она поделена между конденсатором ($\dfrac{Cu^2}{2}$) и катушкой ($\dfrac{Li^2}{2}$). Когда напряжение максимально — вся энергия в конденсаторе, когда ток максимален — вся в катушке. Это даёт связь между текущим напряжением и текущим током, причём неизвестные $L$ и $C$ красиво сокращаются.

Шаг 1. Полная энергия и текущее состояние

Полная энергия равна максимуму энергии конденсатора: $W = \dfrac{C U_m^2}{2}$. Она же равна максимуму энергии катушки: $W = \dfrac{L I_m^2}{2}$. В произвольный момент: $\dfrac{C u^2}{2} + \dfrac{L i^2}{2} = W$.

Шаг 2. Получаем связь токов и напряжений

Подставим $W = \dfrac{C U_m^2}{2}$: $\dfrac{C u^2}{2} + \dfrac{L i^2}{2} = \dfrac{C U_m^2}{2}$, то есть $\dfrac{L i^2}{2} = \dfrac{C}{2}(U_m^2 - u^2)$. Теперь заменим $\dfrac{L i^2}{2}$ через долю от энергии катушки и поделим на $\dfrac{L I_m^2}{2} = \dfrac{C U_m^2}{2}$. Получим аккуратную формулу: $\dfrac{i^2}{I_m^2} = 1 - \dfrac{u^2}{U_m^2}$, откуда $i = I_m\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{U_m^2}}$.

Шаг 3. Подставляем числа

$\dfrac{u}{U_m} = \dfrac{1{,}2}{2{,}0} = 0{,}6$, тогда $i = 5\cdot\sqrt{1 - 0{,}6^2} = 5\cdot\sqrt{0{,}64} = 5\cdot 0{,}8 = 4$ мА. Подвох: легко начать искать $L$ и $C$ по отдельности, хотя они не нужны — всё выражается через амплитуды.