ID: 00015332
В однородном магнитном поле с индукцией $B$, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки шарик, имеющий положительный заряд $q$. Шарик подвешен на нити длиной $l$ (конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен $\alpha$, скорость движения шарика равна $\upsilon$. Найдите массу шарика $m$.
Ответ выразите через данные в условии величины и ускорение свободного падения $g$.
Источник: ФИПИ
Это тот же конический маятник, что и в задаче про заряд, только теперь дан заряд $q$, а ищем массу $m$. Шарик равномерно бежит по горизонтальному кругу: по вертикали силы скомпенсированы, по горизонтали их сумма — центростремительная сила. Силы те же: тяжесть, натяжение нити и сила Лоренца $F=q\upsilon B$ (горизонтальная, так как скорость горизонтальна, а поле вертикально).
Заряд положительный, вращение против часовой стрелки (сверху), поле вниз — сила Лоренца направлена к центру круга, то есть складывается с центростремительной.
Радиус $r=l\sin\alpha$. Вертикаль: $T\cos\alpha=mg$. Горизонталь (к центру): $T\sin\alpha+q\upsilon B=\dfrac{m\upsilon^2}{l\sin\alpha}$.
Из первого $T\sin\alpha=mg\,\mathrm{tg}\,\alpha$. Тогда $mg\,\mathrm{tg}\,\alpha+q\upsilon B=\dfrac{m\upsilon^2}{l\sin\alpha}$. Соберём $m$ в одну сторону: $q\upsilon B=m\left(\dfrac{\upsilon^2}{l\sin\alpha}-g\,\mathrm{tg}\,\alpha\right)$, откуда $m=\dfrac{q\upsilon B}{\dfrac{\upsilon^2}{l\sin\alpha}-g\,\mathrm{tg}\,\alpha}=\dfrac{q\upsilon B\,l\sin\alpha}{\upsilon^2-g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha}$.
$m = \dfrac{q\upsilon B\,l\sin\alpha}{\upsilon^2 - g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha}$