ID: 00015332
В однородном магнитном поле с индукцией B, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки шарик, имеющий положительный заряд q. Шарик подвешен на нити длиной l (конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен \alpha, скорость движения шарика равна \upsilon. Найдите массу шарика m.
Ответ выразите через данные в условии величины и ускорение свободного падения g.
Источник: ФИПИ
Это тот же конический маятник, что и в задаче про заряд, только теперь дан заряд q, а ищем массу m. Шарик равномерно бежит по горизонтальному кругу: по вертикали силы скомпенсированы, по горизонтали их сумма — центростремительная сила. Силы те же: тяжесть, натяжение нити и сила Лоренца F=q\upsilon B (горизонтальная, так как скорость горизонтальна, а поле вертикально).
Заряд положительный, вращение против часовой стрелки (сверху), поле вниз — сила Лоренца направлена к центру круга, то есть складывается с центростремительной.
Радиус r=l\sin\alpha. Вертикаль: T\cos\alpha=mg. Горизонталь (к центру): T\sin\alpha+q\upsilon B=\dfrac{m\upsilon^2}{l\sin\alpha}.
Из первого T\sin\alpha=mg\,\mathrm{tg}\,\alpha. Тогда mg\,\mathrm{tg}\,\alpha+q\upsilon B=\dfrac{m\upsilon^2}{l\sin\alpha}. Соберём m в одну сторону: q\upsilon B=m\left(\dfrac{\upsilon^2}{l\sin\alpha}-g\,\mathrm{tg}\,\alpha\right), откуда m=\dfrac{q\upsilon B}{\dfrac{\upsilon^2}{l\sin\alpha}-g\,\mathrm{tg}\,\alpha}=\dfrac{q\upsilon B\,l\sin\alpha}{\upsilon^2-g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha}.
Ответ: m=\dfrac{q\upsilon B\,l\sin\alpha}{\upsilon^2-g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha}.
m = \dfrac{q\upsilon B\,l\sin\alpha}{\upsilon^2 - g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha}