ID: 00015330
В однородном магнитном поле с индукцией B, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки положительно заряженный шарик массой m, подвешенный на нити длиной l (конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен \alpha, скорость движения шарика равна \upsilon. Найдите заряд шарика q.
Ответ выразите через данные в условии величины и ускорение свободного падения g.
Источник: ФИПИ
Шарик бегает по горизонтальному кругу — значит, по вертикали он никуда не уходит (силы скомпенсированы), а по горизонтали все силы вместе дают центростремительную, тянущую к центру круга. На шарик действуют три силы: тяжесть mg вниз, натяжение нити T вдоль нити и сила Лоренца со стороны магнитного поля. Скорость горизонтальна, поле B вертикально, поэтому сила Лоренца F=q\upsilon B тоже горизонтальна.
Заряд положительный, движется против часовой стрелки (если смотреть сверху), поле направлено вниз. По правилу \vec{F}=q\,\vec{\upsilon}\times\vec{B} сила получается направленной к центру круга, то есть она добавляется к центростремительной. Это важный момент: магнитная сила здесь помогает удерживать шарик на орбите.
Радиус круга r=l\sin\alpha. По вертикали: T\cos\alpha = mg. По горизонтали (к центру): T\sin\alpha + q\upsilon B = \dfrac{m\upsilon^2}{l\sin\alpha}.
Из первого уравнения T=\dfrac{mg}{\cos\alpha}, тогда T\sin\alpha = mg\,\mathrm{tg}\,\alpha. Подставляем во второе и выражаем заряд:
q\upsilon B = \dfrac{m\upsilon^2}{l\sin\alpha} - mg\,\mathrm{tg}\,\alpha, откуда q = \dfrac{m\left(\dfrac{\upsilon^2}{l\sin\alpha} - g\,\mathrm{tg}\,\alpha\right)}{\upsilon B} = \dfrac{m\left(\upsilon^2 - g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\right)}{\upsilon B\,l\sin\alpha}.
Ответ: q = \dfrac{m\left(\upsilon^2 - g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\right)}{\upsilon B\,l\sin\alpha}.
q = \dfrac{m\left(\upsilon^2 - g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\right)}{\upsilon B\,l\sin\alpha}