ID: 00015330
В однородном магнитном поле с индукцией $B$, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки положительно заряженный шарик массой $m$, подвешенный на нити длиной $l$ (конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен $\alpha$, скорость движения шарика равна $\upsilon$. Найдите заряд шарика $q$.
Ответ выразите через данные в условии величины и ускорение свободного падения $g$.
Источник: ФИПИ
Шарик бегает по горизонтальному кругу — значит, по вертикали он никуда не уходит (силы скомпенсированы), а по горизонтали все силы вместе дают центростремительную, тянущую к центру круга. На шарик действуют три силы: тяжесть $mg$ вниз, натяжение нити $T$ вдоль нити и сила Лоренца со стороны магнитного поля. Скорость горизонтальна, поле $B$ вертикально, поэтому сила Лоренца $F=q\upsilon B$ тоже горизонтальна.
Заряд положительный, движется против часовой стрелки (если смотреть сверху), поле направлено вниз. По правилу $\vec{F}=q\,\vec{\upsilon}\times\vec{B}$ сила получается направленной к центру круга, то есть она добавляется к центростремительной. Это важный момент: магнитная сила здесь помогает удерживать шарик на орбите.
Радиус круга $r=l\sin\alpha$. По вертикали: $T\cos\alpha = mg$. По горизонтали (к центру): $T\sin\alpha + q\upsilon B = \dfrac{m\upsilon^2}{l\sin\alpha}$.
Из первого уравнения $T=\dfrac{mg}{\cos\alpha}$, тогда $T\sin\alpha = mg\,\mathrm{tg}\,\alpha$. Подставляем во второе и выражаем заряд:
$q\upsilon B = \dfrac{m\upsilon^2}{l\sin\alpha} - mg\,\mathrm{tg}\,\alpha$, откуда $q = \dfrac{m\left(\dfrac{\upsilon^2}{l\sin\alpha} - g\,\mathrm{tg}\,\alpha\right)}{\upsilon B} = \dfrac{m\left(\upsilon^2 - g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\right)}{\upsilon B\,l\sin\alpha}$.
$q = \dfrac{m\left(\upsilon^2 - g\,l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\right)}{\upsilon B\,l\sin\alpha}$