L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015326

Идея

В контуре заряд и ток связаны как «расстояние и скорость» у качелей: ток — это скорость утекания заряда, то есть $I = \dfrac{dq}{dt}$. Раз ток меняется по косинусу, то заряд (его «первообразная») меняется по синусу с той же частотой и фазой. Нам не нужно знать ни $L$, ни $C$ по отдельности — достаточно связать амплитуды заряда и тока через частоту.

Шаг 1. Считываем параметры из закона тока

Сравним $I(t)=6\cos(2\cdot10^{4}\,t+\tfrac{\pi}{6})$ с общим видом $I(t)=I_{\max}\cos(\omega t+\varphi)$. Отсюда амплитуда тока $I_{\max}=6$ А, циклическая частота $\omega=2\cdot10^{4}$ рад/с, начальная фаза $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$.

Шаг 2. Записываем закон заряда

Если $q(t)=q_{\max}\sin(\omega t+\varphi)$, то его производная $I=\dfrac{dq}{dt}=q_{\max}\,\omega\cos(\omega t+\varphi)$. Значит амплитуды связаны просто: $I_{\max}=q_{\max}\,\omega$, откуда $q_{\max}=\dfrac{I_{\max}}{\omega}$. Фаза у заряда та же, $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$.

Шаг 3. Подставляем момент t = 0

$q(0)=\dfrac{I_{\max}}{\omega}\sin\varphi=\dfrac{6}{2\cdot10^{4}}\cdot\sin\dfrac{\pi}{6}=3\cdot10^{-4}\cdot\dfrac{1}{2}=1{,}5\cdot10^{-4}$ Кл.

Переводим в микрокулоны: $1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{Кл}=150$ мкКл.