ID: 00015326
В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Сила тока I в этом контуре изменяется с течением времени t по следующему закону: I(t) = 6\cos\!\left(2\cdot10^{4}\,t + \dfrac{\pi}{6}\right). В этой формуле все величины приведены в СИ. Чему был равен заряд конденсатора в момент времени t = 0? Ответ выразите в микрокулонах.
Источник: ФИПИ
В контуре заряд и ток связаны как «расстояние и скорость» у качелей: ток — это скорость утекания заряда, то есть I = \dfrac{dq}{dt}. Раз ток меняется по косинусу, то заряд (его «первообразная») меняется по синусу с той же частотой и фазой. Нам не нужно знать ни L, ни C по отдельности — достаточно связать амплитуды заряда и тока через частоту.
Сравним I(t)=6\cos(2\cdot10^{4}\,t+\tfrac{\pi}{6}) с общим видом I(t)=I_{\max}\cos(\omega t+\varphi). Отсюда амплитуда тока I_{\max}=6 А, циклическая частота \omega=2\cdot10^{4} рад/с, начальная фаза \varphi=\tfrac{\pi}{6}.
Если q(t)=q_{\max}\sin(\omega t+\varphi), то его производная I=\dfrac{dq}{dt}=q_{\max}\,\omega\cos(\omega t+\varphi). Значит амплитуды связаны просто: I_{\max}=q_{\max}\,\omega, откуда q_{\max}=\dfrac{I_{\max}}{\omega}. Фаза у заряда та же, \varphi=\tfrac{\pi}{6}.
q(0)=\dfrac{I_{\max}}{\omega}\sin\varphi=\dfrac{6}{2\cdot10^{4}}\cdot\sin\dfrac{\pi}{6}=3\cdot10^{-4}\cdot\dfrac{1}{2}=1{,}5\cdot10^{-4} Кл.
Переводим в микрокулоны: 1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{Кл}=150 мкКл.
Ответ: 150 мкКл.
q = 150 мкКл