L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015318

Идея

Резонансная частота контура задаётся формулой Томсона: $\nu=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$. Главная фишка: частота зависит от ёмкости как $1/\sqrt{C}$. Если ёмкость вырастает в 4 раза, корень из неё растёт в 2 раза, а значит частота падает ровно в 2 раза. Это и есть ключ к решению.

Шаг 1. Связываем две частоты

Пусть до изменения частота $\nu_1$, после увеличения ёмкости в 4 раза — $\nu_2$. Так как $\nu\sim\dfrac{1}{\sqrt{C}}$, при $C\to 4C$ получаем $$\nu_2=\frac{\nu_1}{\sqrt{4}}=\frac{\nu_1}{2}.$$

Шаг 2. Находим частоту по изменению

Частота уменьшилась, поэтому изменение по модулю $$\Delta\nu=\nu_1-\nu_2=\nu_1-\frac{\nu_1}{2}=\frac{\nu_1}{2}.$$ Отсюда $\nu_1=2\Delta\nu=2\cdot 1000=2000$ Гц.

Шаг 3. Выражаем индуктивность

Из формулы Томсона для исходного состояния: $$\nu_1=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\ \Rightarrow\ L=\frac{1}{(2\pi\nu_1)^2\,C}.$$ Подставляем $\nu_1=2000$ Гц и $C=10\cdot10^{-9}$ Ф: $$L=\frac{1}{(2\pi\cdot 2000)^2\cdot 10\cdot10^{-9}}\approx 0{,}63\ \text{Гн}.$$