Изопроцессы — Задание 7 ЕГЭ по физике №00015222

Необычная диаграмма: по осям не давление с объёмом, а число частиц и объём. Но давление по этим данным восстанавливается одной формулой — надо только вспомнить, от чего оно зависит.

Что видно на рисунке. По горизонтали отложен объём $V$ в единицах $V_0$ (подписаны $V_0$, $2V_0$, $3V_0$, $4V_0$, $5V_0$, $6V_0$), по вертикали — число частиц $N$ в единицах $N_0$ (подписаны $N_0$, $2N_0$, $3N_0$, $4N_0$, $5N_0$). На поле отмечены четыре точки:

Точка $1$: объём $V_0$, число частиц $5N_0$.

Точка $2$: объём $2V_0$, число частиц $0{,}5N_0$ (она лежит ниже отметки $N_0$, ровно посередине между нулём и $N_0$).

Точка $3$: объём $3V_0$, число частиц $4{,}5N_0$ (посередине между $4N_0$ и $5N_0$).

Точка $4$: объём $4V_0$, число частиц $3N_0$.

Как найти давление. Давление идеального газа выражается через концентрацию молекул (сколько их в единице объёма) и температуру:

$$p=nkT,\qquad n=\frac{N}{V},$$

где $k$ — постоянная Больцмана. Подставляем одно в другое:

$$p=\frac{N}{V}kT.$$

Температура по условию везде одна и та же, $k$ — просто число. Значит давление пропорционально отношению $\dfrac{N}{V}$: чем больше частиц набито в меньший объём, тем выше давление. Чтобы сравнить давления в четырёх состояниях, достаточно посчитать это отношение — множитель $kT$ всё равно сократится.

Считаем для каждой точки (в единицах $\dfrac{N_0}{V_0}$):

$$\text{точка }1:\ \frac{5N_0}{V_0}=5;\qquad \text{точка }2:\ \frac{0{,}5N_0}{2V_0}=0{,}25;$$ $$\text{точка }3:\ \frac{4{,}5N_0}{3V_0}=1{,}5;\qquad \text{точка }4:\ \frac{3N_0}{4V_0}=0{,}75.$$

Самое большое давление — в состоянии $1$ (значение $5$), самое маленькое — в состоянии $2$ (значение $0{,}25$).

Находим отношение:

$$\frac{p_{\max}}{p_{\min}}=\frac{5}{0{,}25}=20.$$

Проверка себя. Результат легко объяснить на пальцах: в состоянии $1$ частиц в $10$ раз больше, чем в состоянии $2$ ($5N_0$ против $0{,}5N_0$), и при этом они сжаты в объём вдвое меньший ($V_0$ против $2V_0$). Оба фактора работают в одну сторону: $10\cdot2=20$.