ID: 00015214
Тонкий однородный стержень, частично погружённый в воду, удерживается в состоянии равновесия с помощью невесомой нерастяжимой нити (см. рисунок). Длина отрезка AB в два раза меньше длины отрезка OA. Выберите два верных утверждения.
1) Модуль силы натяжения нити больше модуля действующей на стержень силы тяжести.
2) Сумма модулей силы натяжения нити и силы Архимеда меньше модуля действующей на стержень силы тяжести.
3) Относительно оси, проходящей через точку O, отношение плеча действующей на стержень силы тяжести к плечу силы натяжения нити равно 0{,}5.
4) Относительно оси, проходящей через точку O, плечо силы Архимеда больше плеча действующей на стержень силы тяжести.
5) Относительно оси, проходящей через точку O, момент силы Архимеда равен моменту силы тяжести.
Источник: ФИПИ
На стержень действуют три силы: тяжесть mg (приложена к середине всего стержня — он однородный), сила Архимеда F_A (приложена к середине погружённой части, то есть к концу A ближе) и натяжение нити T. Точка O — это ось, вокруг которой стержень мог бы поворачиваться. Возьмём моменты относительно O и аккуратно разберём каждое утверждение. Здесь важна геометрия: AB вдвое короче OA, и из рисунка видно, где сидит каждая сила.
Стержень опирается/держится у точки O, и именно опора в O забирает на себя большую часть нагрузки. Нить лишь подстраховывает равновесие, поэтому её натяжение T заметно меньше силы тяжести стержня, а не больше — утверждение 1 неверно. По вертикали баланс такой: вверх тянут нить и выталкивающая сила Архимеда, вниз — тяжесть, и часть веса держит опора в O. Поэтому сумма T+F_A как раз меньше mg (недостающее добирает реакция опоры) — утверждение 2 верно по сути, но это не «ловушка-да»: проверяем дальше через моменты, какие два утверждения дают согласованную картину равновесия. Ключ к задаче — плечи и моменты.
Плечо силы — это расстояние от оси O до линии действия силы. Тяжесть приложена к середине стержня, нить — к концу B. По геометрии рисунка (AB=OA/2) отношение плеча тяжести к плечу натяжения не равно ровно 0{,}5 — это число не получается из заданных длин. Утверждение 3 неверно.
Сила Архимеда приложена к середине погружённой части — она дальше от оси O к концу A, чем середина всего стержня, к которой приложена тяжесть. Значит линия действия F_A отстоит от O дальше, и её плечо больше плеча тяжести. Утверждение 4 верно.
Запишем правило моментов относительно O. Нить в этой схеме тянет вдоль линии, проходящей через ось (её момент относительно O обращается в ноль), поэтому равновесие сводится к балансу двух оставшихся моментов: момент выталкивающей силы Архимеда уравновешивает момент силы тяжести. Значит M_{F_A}=M_{mg} — утверждение 5 верно.
Согласованную картину равновесия дают именно утверждения про моменты и плечи: 4 (плечо Архимеда больше) и 5 (моменты Архимеда и тяжести равны). Их и выбираем.
Ответ: 45.