ID: 00015189
Небольшое тело массой M = 0{,}79 кг лежит на вершине гладкой полусферы. В тело попадает пуля массой m = 0{,}01 кг, летящая горизонтально со скоростью v_0 = 160 м/с, и застревает в нём. Пренебрегая смещением тела за время удара, определите радиус полусферы, если высота, на которой тело оторвётся от поверхности полусферы, h = 0{,}8 м. Высота отсчитывается от основания полусферы.
Ответ дайте в метрах (м).
Источник: Отличный Результат 2026
Сначала пуля застревает в теле — это абсолютно неупругий удар, скорость связки сразу после удара найдём из закона сохранения импульса (удар быстрый, тело не успевает сместиться). Затем связка скользит по гладкой полусфере и в какой-то точке отрывается. Условие отрыва — реакция опоры равна нулю, центростремительное ускорение создаётся составляющей тяжести. Скорость в точке отрыва свяжем с начальной через закон сохранения энергии.
Закон сохранения импульса (неупругий удар): m v_0 = (M + m)\,v_1, откуда v_1 = \dfrac{m v_0}{M + m} = \dfrac{0{,}01\cdot 160}{0{,}80} = 2 м/с.
Условие отрыва на высоте h (где \cos\theta = h/R): mg\cos\theta = \dfrac{m v^2}{R} \Rightarrow v^2 = gR\cos\theta = g h.
Закон сохранения энергии от вершины (высота R) до точки отрыва (высота h): \dfrac{v_1^2}{2} + gR = \dfrac{v^2}{2} + gh. Подставляя v^2 = gh:
\dfrac{v_1^2}{2} + gR = \dfrac{3}{2} gh \Rightarrow R = \dfrac{3h}{2} - \dfrac{v_1^2}{2g} = \dfrac{3\cdot 0{,}8}{2} - \dfrac{2^2}{2\cdot 10} = 1{,}2 - 0{,}2 = 1{,}0 м.
Ответ: R = 1 м.