ID: 00015188
Шарик падает с высоты $H = 2$ м над поверхностью Земли из состояния покоя. На высоте $h = 1$ м он абсолютно упруго ударяется о доску, расположенную под углом к горизонту (см. рисунок). После этого удара шарик поднялся на максимальную высоту $h_1 = 1{,}25$ м от поверхности Земли. Какой угол $\alpha$ составляет доска с горизонтом? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ дайте в градусах.
Источник: Сборник «Отличный Результат 2026»
До удара шарик падает вертикально — его скорость перед ударом найдём из закона сохранения энергии. При абсолютно упругом ударе о наклонную доску модуль скорости сохраняется, а направление отражается «как от зеркала»: вектор скорости поворачивается на угол $2\alpha$. После удара по вертикальной составляющей скорости и высоте подъёма восстановим, какой стала вертикальная скорость, и через неё найдём угол.
Скорость перед ударом (падение с $H$ до $h$): $v_0 = \sqrt{2g(H - h)} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 1} = \sqrt{20}$ м/с (вниз).
Вертикальная скорость сразу после удара (подъём с $h$ до $h_1$): $v_y = \sqrt{2g(h_1 - h)} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 0{,}25} = \sqrt{5}$ м/с (вверх).
При упругом отражении модуль скорости не меняется, а вертикальная составляющая после удара $v_y = v_0\cos 2\alpha$:
$\cos 2\alpha = \dfrac{v_y}{v_0} = \dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{20}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2\alpha = 60^\circ \Rightarrow \alpha = 30^\circ.$