ID: 00015182
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой линзой оптической силой D = 2{,}5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы. Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки C равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см (см. рисунок). Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах (см²), округлив до десятых.
Источник: Отличный Результат 2026
Фокусное расстояние находим из оптической силы: F = 1/D = 1/2{,}5 = 0{,}4 м = 40 см. Точка C стоит на двойном фокусе (2F = 80 см), A — дальше на 4 см (d_A = 84 см). Катет BC перпендикулярен оси и равен AC = 4 см (треугольник равнобедренный прямоугольный). Строим изображения трёх вершин: для каждой по формуле линзы находим расстояние до изображения f и поперечное увеличение \Gamma = f/d. Получаем треугольник-изображение и считаем его площадь.
Точка C: d_C = 80 см = 2F \Rightarrow f_C = 80 см, \Gamma_C = f_C/d_C = 1. Значит B'C' = \Gamma_C\cdot BC = 1\cdot 4 = 4 см.
Точка A: \dfrac{1}{f_A} = \dfrac{1}{40} - \dfrac{1}{84} \Rightarrow f_A \approx 76{,}4 см. Тогда A' лежит на оси, и длина A'C' = |f_C - f_A| = 80 - 76{,}4 \approx 3{,}64 см.
Изображение — снова прямоугольный треугольник с катетами A'C' (вдоль оси) и B'C' (поперёк):
S = \dfrac{1}{2}\,A'C'\cdot B'C' = \dfrac{1}{2}\cdot 3{,}64\cdot 4 \approx 7{,}3 см².
Ответ: S \approx 7{,}3 см².