ID: 00015182
Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ расположен перед тонкой линзой оптической силой $D = 2{,}5$ дптр так, что его катет $AC$ лежит на главной оптической оси линзы. Вершина прямого угла $C$ лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла $A$. Расстояние от центра линзы до точки $C$ равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, $AC = 4$ см (см. рисунок). Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах (см²), округлив до десятых.
Источник: Сборник «Отличный Результат 2026»
Фокусное расстояние находим из оптической силы: $F = 1/D = 1/2{,}5 = 0{,}4$ м $= 40$ см. Точка $C$ стоит на двойном фокусе ($2F = 80$ см), $A$ — дальше на $4$ см ($d_A = 84$ см). Катет $BC$ перпендикулярен оси и равен $AC = 4$ см (треугольник равнобедренный прямоугольный). Строим изображения трёх вершин: для каждой по формуле линзы находим расстояние до изображения $f$ и поперечное увеличение $\Gamma = f/d$. Получаем треугольник-изображение и считаем его площадь.
Точка $C$: $d_C = 80$ см $= 2F$ $\Rightarrow f_C = 80$ см, $\Gamma_C = f_C/d_C = 1$. Значит $B'C' = \Gamma_C\cdot BC = 1\cdot 4 = 4$ см.
Точка $A$: $\dfrac{1}{f_A} = \dfrac{1}{40} - \dfrac{1}{84} \Rightarrow f_A \approx 76{,}4$ см. Тогда $A'$ лежит на оси, и длина $A'C' = |f_C - f_A| = 80 - 76{,}4 \approx 3{,}64$ см.
Изображение — снова прямоугольный треугольник с катетами $A'C'$ (вдоль оси) и $B'C'$ (поперёк):
$S = \dfrac{1}{2}\,A'C'\cdot B'C' = \dfrac{1}{2}\cdot 3{,}64\cdot 4 \approx 7{,}3$ см².