ID: 00015118
В школьной лаборатории есть два проводника круглого сечения. Удельное сопротивление первого проводника в 2 раза больше удельного сопротивления второго проводника. Длина первого проводника в 2 раза больше длины второго. При подключении этих проводников к одинаковым источникам постоянного напряжения за одинаковые интервалы времени во втором проводнике выделяется количество теплоты в 4 раза большее, чем в первом. Каково отношение радиуса второго проводника к радиусу первого проводника? Источник тока считать идеальным.
Источник: ФИПИ
Проводники подключают к одинаковому напряжению U, поэтому тепло удобно считать формулой Q = \dfrac{U^2}{R}t — здесь видно, что чем меньше сопротивление, тем больше тепла. А сопротивление проводника выражается через его геометрию: R = \dfrac{\rho L}{\pi r^2}.
При одинаковых U и t: \dfrac{Q_2}{Q_1} = \dfrac{R_1}{R_2}. По условию \dfrac{Q_2}{Q_1} = 4, значит \dfrac{R_1}{R_2} = 4 — первый проводник имеет вчетверо большее сопротивление.
\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{\rho_1 L_1 / (\pi r_1^2)}{\rho_2 L_2 / (\pi r_2^2)} = \dfrac{\rho_1}{\rho_2}\cdot\dfrac{L_1}{L_2}\cdot\dfrac{r_2^2}{r_1^2}. Подставим \rho_1/\rho_2 = 2 и L_1/L_2 = 2: 4 = 2\cdot 2\cdot \dfrac{r_2^2}{r_1^2} = 4\cdot\dfrac{r_2^2}{r_1^2}.
Отсюда \dfrac{r_2^2}{r_1^2} = 1, значит \dfrac{r_2}{r_1} = 1. Удвоенные удельное сопротивление и длина ровно «компенсировали» разницу в тепле, поэтому радиусы оказались одинаковыми.
Ответ: 1