Задание 11 ЕГЭ по физике №00015118

Идея

Проводники подключают к одинаковому напряжению $U$, поэтому тепло удобно считать формулой $Q = \dfrac{U^2}{R}t$ — здесь видно, что чем меньше сопротивление, тем больше тепла. А сопротивление проводника выражается через его геометрию: $R = \dfrac{\rho L}{\pi r^2}$.

Шаг 1. Перевод «тепла» в «сопротивление»

При одинаковых $U$ и $t$: $\dfrac{Q_2}{Q_1} = \dfrac{R_1}{R_2}$. По условию $\dfrac{Q_2}{Q_1} = 4$, значит $\dfrac{R_1}{R_2} = 4$ — первый проводник имеет вчетверо большее сопротивление.

Шаг 2. Раскрываем сопротивления через геометрию

$\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{\rho_1 L_1 / (\pi r_1^2)}{\rho_2 L_2 / (\pi r_2^2)} = \dfrac{\rho_1}{\rho_2}\cdot\dfrac{L_1}{L_2}\cdot\dfrac{r_2^2}{r_1^2}$. Подставим $\rho_1/\rho_2 = 2$ и $L_1/L_2 = 2$: $4 = 2\cdot 2\cdot \dfrac{r_2^2}{r_1^2} = 4\cdot\dfrac{r_2^2}{r_1^2}$.

Шаг 3. Находим отношение радиусов

Отсюда $\dfrac{r_2^2}{r_1^2} = 1$, значит $\dfrac{r_2}{r_1} = 1$. Удвоенные удельное сопротивление и длина ровно «компенсировали» разницу в тепле, поэтому радиусы оказались одинаковыми.