ID: 00014963
Математический маятник представляет собой тяжёлый шарик, подвешенный на нерастяжимой нити длиной $1$ м. Этот маятник совершает малые свободные колебания так, что нить всё время находится в одной вертикальной плоскости и отклоняется от вертикали на максимальный угол $3^\circ$. Из приведённого ниже списка выберите все правильные утверждения, характеризующие движение маятника.
1) Ускорение шарика всегда направлено вдоль его нити.
2) Ускорение шарика постоянно по модулю.
3) Период колебаний маятника равен примерно $2$ с.
4) Угол между вектором скорости шарика и горизонтом не может быть больше $3^\circ$.
5) Модуль скорости шарика может быть больше $25$ см/с.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания, без пробелов.
Источник: ФИПИ
Берём формулы математического маятника: период $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ и закон сохранения энергии для оценки скорости. Помним, что скорость шарика всегда направлена по касательной к дуге, по которой он движется.
1) Неверно. У шарика на дуге ускорение раскладывается на две части: вдоль нити (центростремительное) и поперёк, по касательной (оно разгоняет/тормозит шарик). В крайних точках скорость нулевая, центростремительной части нет вовсе, и ускорение направлено по касательной — то есть точно не вдоль нити.
2) Неверно. Модуль ускорения меняется: в крайней точке он один, в положении равновесия — другой, ведь и скорость, и возвращающая сила всё время разные.
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{1}{9{,}8}}\approx 2{,}0$ с. Утверждение верно.
Скорость направлена по касательной к дуге. Когда нить отклонена от вертикали на угол $\alpha$, касательная наклонена к горизонту ровно на тот же угол $\alpha$. Маятник отклоняется не больше чем на $3^\circ$, значит и скорость наклонена к горизонту не больше чем на $3^\circ$. Утверждение верно.
Скорость максимальна в нижней точке. Высота подъёма в крайней точке $h=L(1-\cos 3^\circ)\approx 1\cdot(1-0{,}9986)\approx 0{,}00137$ м. Тогда $v_{\max}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}00137}\approx 0{,}16$ м/с $=16$ см/с. Это меньше $25$ см/с, поэтому утверждение неверно.