ID: 00014963
Математический маятник представляет собой тяжёлый шарик, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 1 м. Этот маятник совершает малые свободные колебания так, что нить всё время находится в одной вертикальной плоскости и отклоняется от вертикали на максимальный угол 3^\circ. Из приведённого ниже списка выберите все правильные утверждения, характеризующие движение маятника.
1) Ускорение шарика всегда направлено вдоль его нити.
2) Ускорение шарика постоянно по модулю.
3) Период колебаний маятника равен примерно 2 с.
4) Угол между вектором скорости шарика и горизонтом не может быть больше 3^\circ.
5) Модуль скорости шарика может быть больше 25 см/с.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания, без пробелов.
Источник: ФИПИ
Берём формулы математического маятника: период T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} и закон сохранения энергии для оценки скорости. Помним, что скорость шарика всегда направлена по касательной к дуге, по которой он движется.
1) Неверно. У шарика на дуге ускорение раскладывается на две части: вдоль нити (центростремительное) и поперёк, по касательной (оно разгоняет/тормозит шарик). В крайних точках скорость нулевая, центростремительной части нет вовсе, и ускорение направлено по касательной — то есть точно не вдоль нити.
2) Неверно. Модуль ускорения меняется: в крайней точке он один, в положении равновесия — другой, ведь и скорость, и возвращающая сила всё время разные.
T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{1}{9{,}8}}\approx 2{,}0 с. Утверждение верно.
Скорость направлена по касательной к дуге. Когда нить отклонена от вертикали на угол \alpha, касательная наклонена к горизонту ровно на тот же угол \alpha. Маятник отклоняется не больше чем на 3^\circ, значит и скорость наклонена к горизонту не больше чем на 3^\circ. Утверждение верно.
Скорость максимальна в нижней точке. Высота подъёма в крайней точке h=L(1-\cos 3^\circ)\approx 1\cdot(1-0{,}9986)\approx 0{,}00137 м. Тогда v_{\max}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}00137}\approx 0{,}16 м/с =16 см/с. Это меньше 25 см/с, поэтому утверждение неверно.
Ответ: 34.