ID: 00014893
Школьник проводил опыты с двумя разными пружинами. К первой пружине он подвесил гирьку массой $200$ г, а ко второй пружине — гирьку массой $100$ г. Оказалось, что обе пружины растянулись на одинаковую величину. Найдите, чему равно отношение периода колебаний первого груза на первой пружине к периоду колебаний второго груза на второй пружине. Трение отсутствует.
Источник: ФИПИ
Период груза на пружине считается по формуле $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$. Жёсткости $k$ у пружин разные, и нам их прямо не дали. Но есть подсказка: обе пружины растянулись одинаково. Это и есть ключ — через неё мы свяжем $m$ и $k$.
Груз висит неподвижно — значит сила упругости держит вес: $kx=mg$, откуда $\dfrac{m}{k}=\dfrac{x}{g}$. Раз растяжение $x$ у обеих пружин одинаковое и $g$ одно и то же, то отношение $\dfrac{m}{k}$ у обоих грузов получается одним и тем же — несмотря на разные массы и разные пружины!
Подставим это в формулу периода: $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\dfrac{x}{g}}$. Масса вообще выпала — период зависит только от растяжения $x$. У обоих оно одинаково, значит и периоды равны:
$\dfrac{T_1}{T_2}=1.$
Хитрость задачи в том, что более тяжёлый груз сильнее растягивает свою пружину, но и пружина под него оказывается жёстче ровно в нужной пропорции — эффекты компенсируются.