ID: 00014880
Тонкая палочка $AB$ длиной $l=10$ см расположена параллельно главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии $h=15$ см от неё (см. рисунок). Конец $A$ палочки располагается на расстоянии $a=40$ см от линзы. Постройте изображение палочки в линзе и определите его длину $L$. Оптическая сила линзы $D=5$ дптр.
Источник: Сборник Гиголо
Палочка параллельна оси, поэтому её концы $A$ и $B$ находятся на разном расстоянии от линзы вдоль оси, но на одной высоте $h$ над осью. Изображение каждого конца строим по формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{u}$, а высоту изображения — по увеличению $\Gamma=\dfrac{v}{u}$. Изображение палочки — отрезок, соединяющий изображения концов; его длину находим по теореме Пифагора.
$F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$ м $=20$ см.
Конец $A$: $u_A=40$ см. Палочка длиной $10$ см вдоль оси, дальний конец $B$: $u_B=40+10=50$ см.
$\dfrac{1}{v_A}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40}=\dfrac{1}{40}\;\Rightarrow\;v_A=40$ см (изображение действительное).
Увеличение $\Gamma_A=\dfrac{v_A}{u_A}=\dfrac{40}{40}=1$, высота изображения конца $A$: $h_A=\Gamma_A\cdot h=15$ см.
$\dfrac{1}{v_B}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{50}=\dfrac{3}{100}\;\Rightarrow\;v_B=\dfrac{100}{3}\approx33{,}3$ см.
$\Gamma_B=\dfrac{v_B}{u_B}=\dfrac{100/3}{50}=\dfrac{2}{3}$, высота изображения конца $B$: $h_B=\dfrac{2}{3}\cdot15=10$ см.
Концы изображения смещены и вдоль оси ($\Delta x=v_A-v_B=40-\dfrac{100}{3}=\dfrac{20}{3}$ см), и поперёк ($\Delta y=h_A-h_B=15-10=5$ см). Оба изображения по одну сторону от оси (оба действительны и перевёрнуты), длина отрезка:
$L=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{20}{3}\right)^2+5^2}=\sqrt{\dfrac{400}{9}+25}=\sqrt{\dfrac{625}{9}}=\dfrac{25}{3}\approx8{,}3$ см.
$L=\dfrac{25}{3}\approx8{,}3$ см.