ID: 00014880
Тонкая палочка AB длиной l=10 см расположена параллельно главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии h=15 см от неё (см. рисунок). Конец A палочки располагается на расстоянии a=40 см от линзы. Постройте изображение палочки в линзе и определите его длину L. Оптическая сила линзы D=5 дптр.
Источник: Сборник Гиголо
Палочка параллельна оси, поэтому её концы A и B находятся на разном расстоянии от линзы вдоль оси, но на одной высоте h над осью. Изображение каждого конца строим по формуле тонкой линзы \dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{u}, а высоту изображения — по увеличению \Gamma=\dfrac{v}{u}. Изображение палочки — отрезок, соединяющий изображения концов; его длину находим по теореме Пифагора.
F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{5}=0{,}2 м =20 см.
Конец A: u_A=40 см. Палочка длиной 10 см вдоль оси, дальний конец B: u_B=40+10=50 см.
\dfrac{1}{v_A}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40}=\dfrac{1}{40}\;\Rightarrow\;v_A=40 см (изображение действительное).
Увеличение \Gamma_A=\dfrac{v_A}{u_A}=\dfrac{40}{40}=1, высота изображения конца A: h_A=\Gamma_A\cdot h=15 см.
\dfrac{1}{v_B}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{50}=\dfrac{3}{100}\;\Rightarrow\;v_B=\dfrac{100}{3}\approx33{,}3 см.
\Gamma_B=\dfrac{v_B}{u_B}=\dfrac{100/3}{50}=\dfrac{2}{3}, высота изображения конца B: h_B=\dfrac{2}{3}\cdot15=10 см.
Концы изображения смещены и вдоль оси (\Delta x=v_A-v_B=40-\dfrac{100}{3}=\dfrac{20}{3} см), и поперёк (\Delta y=h_A-h_B=15-10=5 см). Оба изображения по одну сторону от оси (оба действительны и перевёрнуты), длина отрезка:
L=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{20}{3}\right)^2+5^2}=\sqrt{\dfrac{400}{9}+25}=\sqrt{\dfrac{625}{9}}=\dfrac{25}{3}\approx8{,}3 см.
Ответ: L=\dfrac{25}{3}\approx8{,}3 см.
L=\dfrac{25}{3}\approx8{,}3 см.