ID: 00014872
В однородном магнитном поле с индукцией $B$, направленной вертикально вниз, равномерно вращается по окружности в горизонтальной плоскости (против часовой стрелки, если смотреть сверху) положительно заряженный шарик, подвешенный на нити длиной $l$ (конический маятник, см. рисунок). Угол отклонения нити от вертикали равен $\alpha$, скорость движения шарика равна $v$.
Найдите удельный заряд шарика $\dfrac{q}{m}$. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шарик.
Источник: Сборник Гиголо
Шарик движется по горизонтальной окружности радиусом $r=l\sin\alpha$ с постоянной по модулю скоростью. На него действуют три силы: тяжесть $mg$ (вниз), сила натяжения нити $T$ (вдоль нити) и сила Лоренца. Скорость горизонтальна, поле вертикально, значит $v\perp B$ и модуль силы Лоренца $F_{\text{Л}}=qvB$; направлена она горизонтально, вдоль радиуса. Для данной комбинации (заряд $+$, $B$ вниз, вращение против часовой сверху) сила Лоренца смотрит к центру окружности.
Запишем второй закон Ньютона по двум осям.
Вертикаль (ускорения нет): $T\cos\alpha=mg$.
Горизонталь (к центру — центростремительное ускорение $\dfrac{v^2}{r}$): $T\sin\alpha+qvB=\dfrac{mv^2}{l\sin\alpha}$.
Из вертикального уравнения $T=\dfrac{mg}{\cos\alpha}$. Подставим в горизонтальное:
$\dfrac{mg}{\cos\alpha}\sin\alpha+qvB=\dfrac{mv^2}{l\sin\alpha}\;\Rightarrow\; mg\,\mathrm{tg}\,\alpha+qvB=\dfrac{mv^2}{l\sin\alpha}.$
Выразим силу Лоренца и поделим на $m$:
$qvB=\dfrac{mv^2}{l\sin\alpha}-mg\,\mathrm{tg}\,\alpha\;\Rightarrow\;\dfrac{q}{m}=\dfrac{1}{vB}\left(\dfrac{v^2}{l\sin\alpha}-g\,\mathrm{tg}\,\alpha\right)=\dfrac{1}{B}\left(\dfrac{v}{l\sin\alpha}-\dfrac{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}{v}\right).$
$\dfrac{q}{m}=\dfrac{1}{B}\left(\dfrac{v}{l\sin\alpha}-\dfrac{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}{v}\right)$