ID: 00014867
К конденсатору $C_1$ через диод и катушку индуктивности $L$ подключён конденсатор ёмкостью $C_2=2$ мкФ. До замыкания ключа $K$ конденсатор $C_1$ был заряжен до напряжения $U=50$ В, а конденсатор $C_2$ не заряжен. После замыкания ключа система перешла в новое состояние равновесия, в котором напряжение на конденсаторе $C_2$ оказалось равным $U_2=20$ В. Какова ёмкость конденсатора $C_1$? Активное сопротивление цепи пренебрежимо мало (см. рисунок).
Источник: Сборник Гиголо
Хитрость задачи — в диоде. После замыкания заряд из $C_1$ через катушку перетекает в $C_2$, как в $LC$-контуре. Но диод пропускает ток только в одну сторону: как только ток в цепи попытается потечь обратно (через полпериода колебаний), диод его перекроет, и система «застынет».
Пусть через цепь прошёл заряд $Q$. Тогда напряжения $U_{C_1}=U-\dfrac{Q}{C_1}$, $U_{C_2}=\dfrac{Q}{C_2}$. Для контура $L\ddot{Q}=U-Q\left(\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\right)$ — это гармонические колебания заряда около положения равновесия $Q_{eq}=U\cdot C_{eq}$, где $C_{eq}=\dfrac{C_1 C_2}{C_1+C_2}$.
В начале $Q=0$ и ток равен нулю, поэтому $Q(t)=Q_{eq}\big(1-\cos\omega t\big)$. Ток впервые обращается в нуль при $\omega t=\pi$, тогда $Q=2Q_{eq}=2U\,C_{eq}$. Дальше ток сменил бы направление — но его блокирует диод, и это состояние становится конечным.
Напряжение на $C_2$ в конце: $U_2=\dfrac{Q}{C_2}=\dfrac{2U\,C_{eq}}{C_2}=\dfrac{2U\,C_1}{C_1+C_2}$. Подставляем числа: $20=\dfrac{2\cdot50\cdot C_1}{C_1+2}$, откуда $20(C_1+2)=100\,C_1\Rightarrow 40=80\,C_1\Rightarrow C_1=0{,}5$ мкФ.