ID: 00014867
К конденсатору C_1 через диод и катушку индуктивности L подключён конденсатор ёмкостью C_2=2 мкФ. До замыкания ключа K конденсатор C_1 был заряжен до напряжения U=50 В, а конденсатор C_2 не заряжен. После замыкания ключа система перешла в новое состояние равновесия, в котором напряжение на конденсаторе C_2 оказалось равным U_2=20 В. Какова ёмкость конденсатора C_1? Активное сопротивление цепи пренебрежимо мало (см. рисунок).
Источник: Сборник Гиголо
Хитрость задачи — в диоде. После замыкания заряд из C_1 через катушку перетекает в C_2, как в LC-контуре. Но диод пропускает ток только в одну сторону: как только ток в цепи попытается потечь обратно (через полпериода колебаний), диод его перекроет, и система «застынет».
Пусть через цепь прошёл заряд Q. Тогда напряжения U_{C_1}=U-\dfrac{Q}{C_1}, U_{C_2}=\dfrac{Q}{C_2}. Для контура L\ddot{Q}=U-Q\left(\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\right) — это гармонические колебания заряда около положения равновесия Q_{eq}=U\cdot C_{eq}, где C_{eq}=\dfrac{C_1 C_2}{C_1+C_2}.
В начале Q=0 и ток равен нулю, поэтому Q(t)=Q_{eq}\big(1-\cos\omega t\big). Ток впервые обращается в нуль при \omega t=\pi, тогда Q=2Q_{eq}=2U\,C_{eq}. Дальше ток сменил бы направление — но его блокирует диод, и это состояние становится конечным.
Напряжение на C_2 в конце: U_2=\dfrac{Q}{C_2}=\dfrac{2U\,C_{eq}}{C_2}=\dfrac{2U\,C_1}{C_1+C_2}. Подставляем числа: 20=\dfrac{2\cdot50\cdot C_1}{C_1+2}, откуда 20(C_1+2)=100\,C_1\Rightarrow 40=80\,C_1\Rightarrow C_1=0{,}5 мкФ.
Ответ: C_1=0{,}5 мкФ.