L/C контур — Задание 13 ЕГЭ по физике №00014865

Идея

Пока ключ замкнут, через катушку течёт установившийся ток $I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r}$, а напряжение на конденсаторе равно нулю (катушка идеальная, на ней нет падения напряжения). После размыкания катушка и конденсатор образуют идеальный $LC$-контур, и вся энергия магнитного поля начинает перетекать в конденсатор.

Шаг 1. Найдём ёмкость из условия про амплитуду

В $LC$-контуре максимальное напряжение наступает, когда весь ток перешёл в заряд: $\dfrac{L I_0^{2}}{2}=\dfrac{C U_{max}^{2}}{2}$, то есть $U_{max}=I_0\sqrt{\dfrac{L}{C}}$. По условию $U_{max}=\mathcal{E}$, а $I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r}$. Тогда $\mathcal{E}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\;\Rightarrow\; r=\sqrt{\dfrac{L}{C}}\;\Rightarrow\; C=\dfrac{L}{r^{2}}=\dfrac{2\cdot10^{-3}}{9}\approx2{,}22\cdot10^{-4}$ Ф.

Шаг 2. Время

После размыкания в контуре ток максимален, а напряжение равно нулю, поэтому $U_C(t)=U_{max}\sin(\omega t)$. Впервые $U_C=U_{max}=\mathcal{E}$ при $\omega t=\dfrac{\pi}{2}$, то есть через четверть периода: $t=\dfrac{T}{4}$.

Период: $T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{2\cdot10^{-3}\cdot2{,}22\cdot10^{-4}}\approx4{,}19\cdot10^{-3}$ с.

$t=\dfrac{T}{4}\approx1{,}05\cdot10^{-3}$ с $\approx1{,}05$ мс.