ID: 00014865
В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ $K$ длительное время замкнут, $\mathcal{E}=12$ В, $r=3$ Ом, $L=2$ мГн. В момент $t=0$ ключ $K$ размыкают. Амплитуда напряжения на конденсаторе в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний равна ЭДС источника. В какой момент времени напряжение на конденсаторе впервые достигнет значения $\mathcal{E}$? Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь (см. рисунок).
Источник: Сборник Гиголо
Пока ключ замкнут, через катушку течёт установившийся ток $I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r}$, а напряжение на конденсаторе равно нулю (катушка идеальная, на ней нет падения напряжения). После размыкания катушка и конденсатор образуют идеальный $LC$-контур, и вся энергия магнитного поля начинает перетекать в конденсатор.
В $LC$-контуре максимальное напряжение наступает, когда весь ток перешёл в заряд: $\dfrac{L I_0^{2}}{2}=\dfrac{C U_{max}^{2}}{2}$, то есть $U_{max}=I_0\sqrt{\dfrac{L}{C}}$. По условию $U_{max}=\mathcal{E}$, а $I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r}$. Тогда $\mathcal{E}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\;\Rightarrow\; r=\sqrt{\dfrac{L}{C}}\;\Rightarrow\; C=\dfrac{L}{r^{2}}=\dfrac{2\cdot10^{-3}}{9}\approx2{,}22\cdot10^{-4}$ Ф.
После размыкания в контуре ток максимален, а напряжение равно нулю, поэтому $U_C(t)=U_{max}\sin(\omega t)$. Впервые $U_C=U_{max}=\mathcal{E}$ при $\omega t=\dfrac{\pi}{2}$, то есть через четверть периода: $t=\dfrac{T}{4}$.
Период: $T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{2\cdot10^{-3}\cdot2{,}22\cdot10^{-4}}\approx4{,}19\cdot10^{-3}$ с.
$t=\dfrac{T}{4}\approx1{,}05\cdot10^{-3}$ с $\approx1{,}05$ мс.