ID: 00014865
В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ K длительное время замкнут, \mathcal{E}=12 В, r=3 Ом, L=2 мГн. В момент t=0 ключ K размыкают. Амплитуда напряжения на конденсаторе в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний равна ЭДС источника. В какой момент времени напряжение на конденсаторе впервые достигнет значения \mathcal{E}? Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь (см. рисунок).
Источник: Сборник Гиголо
Пока ключ замкнут, через катушку течёт установившийся ток I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r}, а напряжение на конденсаторе равно нулю (катушка идеальная, на ней нет падения напряжения). После размыкания катушка и конденсатор образуют идеальный LC-контур, и вся энергия магнитного поля начинает перетекать в конденсатор.
В LC-контуре максимальное напряжение наступает, когда весь ток перешёл в заряд: \dfrac{L I_0^{2}}{2}=\dfrac{C U_{max}^{2}}{2}, то есть U_{max}=I_0\sqrt{\dfrac{L}{C}}. По условию U_{max}=\mathcal{E}, а I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r}. Тогда \mathcal{E}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\;\Rightarrow\; r=\sqrt{\dfrac{L}{C}}\;\Rightarrow\; C=\dfrac{L}{r^{2}}=\dfrac{2\cdot10^{-3}}{9}\approx2{,}22\cdot10^{-4} Ф.
После размыкания в контуре ток максимален, а напряжение равно нулю, поэтому U_C(t)=U_{max}\sin(\omega t). Впервые U_C=U_{max}=\mathcal{E} при \omega t=\dfrac{\pi}{2}, то есть через четверть периода: t=\dfrac{T}{4}.
Период: T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{2\cdot10^{-3}\cdot2{,}22\cdot10^{-4}}\approx4{,}19\cdot10^{-3} с.
t=\dfrac{T}{4}\approx1{,}05\cdot10^{-3} с \approx1{,}05 мс.
Ответ: t\approx1{,}05 мс.