ID: 00014838
На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит жёсткая рамка массой $m$ из однородной тонкой проволоки, согнутая в виде квадрата $ACDE$ со стороной $a$ (см. рисунок). Рамка находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции $\vec B$ которого перпендикулярен сторонам $AE$ и $CD$ и равен по модулю $B$. По рамке течёт ток в направлении, указанном стрелками (см. рисунок). При какой минимальной силе тока рамка начнёт поворачиваться вокруг стороны $CD$?
Источник: Сборник Гиголо
Та же логика, что и с треугольником: рамка лежит на столе, и она начнёт поворачиваться вокруг стороны $CD$, когда момент сил Ампера относительно этой оси превзойдёт момент силы тяжести. Поле горизонтально и перпендикулярно сторонам $AE$ и $CD$, ток течёт в горизонтальной плоскости — поэтому силы Ампера на стороны рамки вертикальны и стремятся опрокинуть рамку.
Центр масс однородного квадрата — в его центре, на расстоянии $\dfrac{a}{2}$ от стороны $CD$. Момент:
$M_{тяж}=mg\cdot\dfrac{a}{2}.$
Суммарный момент вертикальных сил Ампера относительно оси $CD$ удобно посчитать через площадь контура: $M_A=BI\big|\!\oint x\,dy\big|=BI\,S$, где $S=a^2$ — площадь квадрата:
$M_A=BI\,a^2.$
(Физически: основной вклад даёт дальняя сторона $AE$, поднимаемая силой $BIa$ на плече $a$; стороны $AC$ и $ED$ дают моменты, в сумме сводящиеся к этому же результату.)
$M_A\ge M_{тяж}:\quad BI\,a^2\ge mg\cdot\dfrac{a}{2}.$
Отсюда минимальный ток:
$I\ge\dfrac{mg}{2aB}.$
$I \geq \dfrac{mg}{2aB}$