ID: 00014838
На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит жёсткая рамка массой m из однородной тонкой проволоки, согнутая в виде квадрата ACDE со стороной a (см. рисунок). Рамка находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции \vec B которого перпендикулярен сторонам AE и CD и равен по модулю B. По рамке течёт ток в направлении, указанном стрелками (см. рисунок). При какой минимальной силе тока рамка начнёт поворачиваться вокруг стороны CD?
Источник: Сборник Гиголо
Та же логика, что и с треугольником: рамка лежит на столе, и она начнёт поворачиваться вокруг стороны CD, когда момент сил Ампера относительно этой оси превзойдёт момент силы тяжести. Поле горизонтально и перпендикулярно сторонам AE и CD, ток течёт в горизонтальной плоскости — поэтому силы Ампера на стороны рамки вертикальны и стремятся опрокинуть рамку.
Центр масс однородного квадрата — в его центре, на расстоянии \dfrac{a}{2} от стороны CD. Момент:
M_{тяж}=mg\cdot\dfrac{a}{2}.
Суммарный момент вертикальных сил Ампера относительно оси CD удобно посчитать через площадь контура: M_A=BI\big|\!\oint x\,dy\big|=BI\,S, где S=a^2 — площадь квадрата:
M_A=BI\,a^2.
(Физически: основной вклад даёт дальняя сторона AE, поднимаемая силой BIa на плече a; стороны AC и ED дают моменты, в сумме сводящиеся к этому же результату.)
M_A\ge M_{тяж}:\quad BI\,a^2\ge mg\cdot\dfrac{a}{2}.
Отсюда минимальный ток:
I\ge\dfrac{mg}{2aB}.
Ответ: I\ge\dfrac{mg}{2aB}.
I \geq \dfrac{mg}{2aB}