ID: 00014837
На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит проводящая жёсткая рамка из однородной тонкой проволоки, согнутой в виде равностороннего треугольника $ADC$ со стороной, равной $a$ (см. рисунок). Рамка, по которой течёт ток $I$, находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции которого $B$ перпендикулярен стороне $CD$. Каким должен быть модуль индукции магнитного поля, чтобы рамка начала поворачиваться вокруг стороны $CD$, если масса рамки $m$?
Источник: Сборник Гиголо
Рамка лежит плашмя на столе. Чтобы она начала «вставать» (поворачиваться вокруг стороны $CD$), момент сил Ампера относительно оси $CD$ должен превысить момент силы тяжести относительно той же оси. Поле горизонтально и перпендикулярно $CD$, ток течёт в горизонтальной плоскости — поэтому сила Ампера на каждый элемент $d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B$ вертикальна. Именно эти вертикальные силы и опрокидывают рамку.
Центр масс однородного треугольника лежит на расстоянии $\tfrac{1}{3}$ высоты от стороны $CD$. Высота $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$, значит плечо тяжести $d_{цм}=\dfrac{h}{3}=\dfrac{a\sqrt3}{6}$. Момент:
$M_{тяж}=mg\cdot\dfrac{a\sqrt3}{6}.$
Вертикальная сила на элемент: $dF_z=-IB\,dy$ (если ось $CD$ направить вдоль $y$, а поле вдоль $x$). Момент относительно $CD$ равен $M_A=\big|\!\int x\,dF_z\big|=IB\big|\!\oint x\,dy\big|$. Замечательно, что $\oint x\,dy$ по контуру — это просто площадь рамки $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$. Поэтому
$M_A=IB\,S=IB\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}.$
$M_A\ge M_{тяж}:\quad IB\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\ge mg\cdot\dfrac{a\sqrt3}{6}.$
Сокращаем $\sqrt3$ и $a$:
$B\ge\dfrac{mg}{Ia}\cdot\dfrac{4}{6}=\dfrac{2mg}{3aI}.$
$B \geq \dfrac{2mg}{3aI}$