Магнетизм (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00014837

Идея

Рамка лежит плашмя на столе. Чтобы она начала «вставать» (поворачиваться вокруг стороны $CD$), момент сил Ампера относительно оси $CD$ должен превысить момент силы тяжести относительно той же оси. Поле горизонтально и перпендикулярно $CD$, ток течёт в горизонтальной плоскости — поэтому сила Ампера на каждый элемент $d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B$ вертикальна. Именно эти вертикальные силы и опрокидывают рамку.

Момент силы тяжести

Центр масс однородного треугольника лежит на расстоянии $\tfrac{1}{3}$ высоты от стороны $CD$. Высота $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$, значит плечо тяжести $d_{цм}=\dfrac{h}{3}=\dfrac{a\sqrt3}{6}$. Момент:

$M_{тяж}=mg\cdot\dfrac{a\sqrt3}{6}.$

Момент силы Ампера

Вертикальная сила на элемент: $dF_z=-IB\,dy$ (если ось $CD$ направить вдоль $y$, а поле вдоль $x$). Момент относительно $CD$ равен $M_A=\big|\!\int x\,dF_z\big|=IB\big|\!\oint x\,dy\big|$. Замечательно, что $\oint x\,dy$ по контуру — это просто площадь рамки $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$. Поэтому

$M_A=IB\,S=IB\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}.$

Условие поворота

$M_A\ge M_{тяж}:\quad IB\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\ge mg\cdot\dfrac{a\sqrt3}{6}.$

Сокращаем $\sqrt3$ и $a$:

$B\ge\dfrac{mg}{Ia}\cdot\dfrac{4}{6}=\dfrac{2mg}{3aI}.$