ID: 00014837
На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит проводящая жёсткая рамка из однородной тонкой проволоки, согнутой в виде равностороннего треугольника ADC со стороной, равной a (см. рисунок). Рамка, по которой течёт ток I, находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции которого B перпендикулярен стороне CD. Каким должен быть модуль индукции магнитного поля, чтобы рамка начала поворачиваться вокруг стороны CD, если масса рамки m?
Источник: Сборник Гиголо
Рамка лежит плашмя на столе. Чтобы она начала «вставать» (поворачиваться вокруг стороны CD), момент сил Ампера относительно оси CD должен превысить момент силы тяжести относительно той же оси. Поле горизонтально и перпендикулярно CD, ток течёт в горизонтальной плоскости — поэтому сила Ампера на каждый элемент d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B вертикальна. Именно эти вертикальные силы и опрокидывают рамку.
Центр масс однородного треугольника лежит на расстоянии \tfrac{1}{3} высоты от стороны CD. Высота h=\dfrac{a\sqrt3}{2}, значит плечо тяжести d_{цм}=\dfrac{h}{3}=\dfrac{a\sqrt3}{6}. Момент:
M_{тяж}=mg\cdot\dfrac{a\sqrt3}{6}.
Вертикальная сила на элемент: dF_z=-IB\,dy (если ось CD направить вдоль y, а поле вдоль x). Момент относительно CD равен M_A=\big|\!\int x\,dF_z\big|=IB\big|\!\oint x\,dy\big|. Замечательно, что \oint x\,dy по контуру — это просто площадь рамки S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}. Поэтому
M_A=IB\,S=IB\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}.
M_A\ge M_{тяж}:\quad IB\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\ge mg\cdot\dfrac{a\sqrt3}{6}.
Сокращаем \sqrt3 и a:
B\ge\dfrac{mg}{Ia}\cdot\dfrac{4}{6}=\dfrac{2mg}{3aI}.
Ответ: B\ge\dfrac{2mg}{3aI}.
B \geq \dfrac{2mg}{3aI}