ID: 00014831
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2{,}5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла A; расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC=4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: Сборник Гиголо
Фокусное расстояние F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4 м =40 см. Треугольник равнобедренный прямоугольный с прямым углом в C, поэтому катеты равны: AC=BC=4 см. Катет AC лежит на оси, вершина B отстоит от оси на BC=4 см. Построим изображения вершин и найдём площадь.
A на оси на расстоянии 2F=80 см. C дальше на AC=4 см, то есть в 84 см. B — над точкой C (на той же координате по оси), на высоте 4 см от оси.
Точка A (u_A=80=2F): изображение в v_A=2F=80 см, на оси.
Точка C (u_C=84 см): v_C=\dfrac{F\,u_C}{u_C-F}=\dfrac{40\cdot84}{44}\approx76{,}36 см, на оси.
Точка B (та же u=84 см, но над осью): изображение в v_C\approx76{,}36 см с поперечным увеличением m=\dfrac{v_C}{u_C}=\dfrac{76{,}36}{84}\approx0{,}909, то есть на высоте 4\cdot0{,}909\approx3{,}64 см (по другую сторону оси, изображение перевёрнутое).
Изображение — снова прямоугольный треугольник с прямым углом в C'. Катет вдоль оси A'C'=|v_A-v_C|=|80-76{,}36|\approx3{,}64 см, поперечный катет B'C'\approx3{,}64 см.
S=\dfrac12\,A'C'\cdot B'C'=\dfrac12\cdot3{,}64\cdot3{,}64\approx6{,}6 см^2.
Ответ: S\approx6{,}6 см^2.