ID: 00014831
Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой $2{,}5$ дптр так, что его катет $AC$ лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла $C$ лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла $A$; расстояние от центра линзы до точки $A$ равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, $AC=4$ см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: Сборник Гиголо
Фокусное расстояние $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4$ м $=40$ см. Треугольник равнобедренный прямоугольный с прямым углом в $C$, поэтому катеты равны: $AC=BC=4$ см. Катет $AC$ лежит на оси, вершина $B$ отстоит от оси на $BC=4$ см. Построим изображения вершин и найдём площадь.
$A$ на оси на расстоянии $2F=80$ см. $C$ дальше на $AC=4$ см, то есть в $84$ см. $B$ — над точкой $C$ (на той же координате по оси), на высоте $4$ см от оси.
Точка $A$ ($u_A=80=2F$): изображение в $v_A=2F=80$ см, на оси.
Точка $C$ ($u_C=84$ см): $v_C=\dfrac{F\,u_C}{u_C-F}=\dfrac{40\cdot84}{44}\approx76{,}36$ см, на оси.
Точка $B$ (та же $u=84$ см, но над осью): изображение в $v_C\approx76{,}36$ см с поперечным увеличением $m=\dfrac{v_C}{u_C}=\dfrac{76{,}36}{84}\approx0{,}909$, то есть на высоте $4\cdot0{,}909\approx3{,}64$ см (по другую сторону оси, изображение перевёрнутое).
Изображение — снова прямоугольный треугольник с прямым углом в $C'$. Катет вдоль оси $A'C'=|v_A-v_C|=|80-76{,}36|\approx3{,}64$ см, поперечный катет $B'C'\approx3{,}64$ см.
$S=\dfrac12\,A'C'\cdot B'C'=\dfrac12\cdot3{,}64\cdot3{,}64\approx6{,}6$ см$^2$.