ID: 00014775
Главная оптическая ось тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=20$ см и точечный источник света $S$ находятся в плоскости рисунка. Точка $S$ находится на расстоянии $b=60$ см от плоскости линзы и на расстоянии $H$ от её главной оптической оси. В левой фокальной плоскости линзы лежит тонкий непрозрачный экран с маленьким отверстием $A$, находящимся в плоскости рисунка на расстоянии $h=5$ см от главной оптической оси линзы.
Пройдя через отверстие в экране и линзу, луч $SA$ от точечного источника пересекает её главную оптическую ось на расстоянии $x=16$ см от плоскости линзы. Найдите величину $H$. Дифракцией света пренебречь. Постройте рисунок, показывающий ход луча через линзу.
Источник: Сборник Гиголо
Свет идёт от источника $S$ слева, проходит сквозь отверстие $A$ в экране, попадает на линзу и преломляется. Удобно работать с координатами: ось $z$ — вдоль главной оптической оси, начало $z=0$ в плоскости линзы, свет летит вправо. Высоту над осью обозначим $y$.
Тогда $S=(-60;\,H)$, отверстие $A=(-20;\,5)$ (оно в левой фокальной плоскости, ведь $-F=-20$ см), а после линзы луч приходит на ось в точке $(16;\,0)$.
Главная фишка: отверстие $A$ лежит в передней фокальной плоскости. Значит луч от любой точки этой плоскости после линзы выходит под наклоном того луча, который идёт через эту же точку и оптический центр $O$ без преломления. Это нам пригодится для проверки.
Луч $SA$ — прямая через $S(-60;H)$ и $A(-20;5)$. Её наклон $$m_{вх}=\frac{5-H}{-20-(-60)}=\frac{5-H}{40}.$$ Высота, на которой луч приходит на линзу ($z=0$): $$y_{л}=H+m_{вх}\cdot 60=H+\frac{5-H}{40}\cdot 60=7{,}5-0{,}5H.$$
Тонкая линза меняет наклон луча по правилу $$m_{вых}=m_{вх}-\frac{y_{л}}{F}.$$ После линзы луч из точки $(0;\,y_{л})$ должен прийти на ось ($y=0$) при $z=16$, поэтому $$0=y_{л}+m_{вых}\cdot 16\;\Rightarrow\; m_{вых}=-\frac{y_{л}}{16}.$$
Подставляем $m_{вых}$ в правило линзы: $$-\frac{y_{л}}{16}=m_{вх}-\frac{y_{л}}{20}\;\Rightarrow\; m_{вх}=y_{л}\left(-\frac{1}{16}+\frac{1}{20}\right)=-\frac{y_{л}}{80}.$$ Теперь приравниваем к наклону $SA$ и подставляем $y_{л}=7{,}5-0{,}5H$, $m_{вх}=\dfrac{5-H}{40}$: $$\frac{5-H}{40}=-\frac{7{,}5-0{,}5H}{80}.$$ Умножим на $80$: $$2(5-H)=-(7{,}5-0{,}5H)\;\Rightarrow\;10-2H=-7{,}5+0{,}5H\;\Rightarrow\;17{,}5=2{,}5H.$$ Отсюда $H=7$ см.
При $H=7$: $y_{л}=4$ см, наклон до линзы $m_{вх}=-0{,}05$, после линзы $m_{вых}=-0{,}05-\dfrac{4}{20}=-0{,}25$. А луч из фокальной точки $A$ через центр $O$ имеет наклон $\dfrac{0-5}{0-(-20)}=-0{,}25$ — совпало, значит луч действительно вышел параллельно «центральному», как и положено для передней фокальной плоскости. Точка пересечения с осью: $z=\dfrac{-y_{л}}{m_{вых}}=\dfrac{-4}{-0{,}25}=16$ см — всё сходится.