ID: 00014766
Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью C_1=1 мкФ и катушки индуктивности L=0{,}01 Гн. Какой должна быть ёмкость конденсатора, чтобы циклическая частота колебаний энергии конденсатора увеличилась на \Delta\omega=2\cdot10^{4} с^{-1}?
Источник: Сборник Гиголо
Собственная частота контура \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}. Но спрашивают про частоту колебаний энергии конденсатора. Энергия пропорциональна q^2, а q\sim\cos(\omega_0 t), поэтому q^2\sim\cos^2(\omega_0 t)=\tfrac12\big(1+\cos(2\omega_0 t)\big) — энергия колеблется с удвоенной частотой \omega_W=2\omega_0=\dfrac{2}{\sqrt{LC}}.
Начальная частота энергии: \omega_{W1}=\dfrac{2}{\sqrt{LC_1}}=\dfrac{2}{\sqrt{0{,}01\cdot10^{-6}}}=2\cdot10^{4} с^{-1}.
Новая частота: \omega_{W2}=\omega_{W1}+\Delta\omega=2\cdot10^{4}+2\cdot10^{4}=4\cdot10^{4} с^{-1}.
Из \omega_{W2}=\dfrac{2}{\sqrt{LC_2}} выражаем ёмкость: C_2=\dfrac{4}{L\,\omega_{W2}^{2}}=\dfrac{4}{0{,}01\cdot(4\cdot10^{4})^{2}}=2{,}5\cdot10^{-7} Ф =0{,}25 мкФ.
Ответ: C_2=0{,}25 мкФ.