ID: 00014758
К верхнему концу тонкого вертикального вала, установленного на неподвижном столе, на невесомой нерастяжимой нити длиной $l=30$ см подвешен маленький грузик массой $m=25$ г. Вал с грузиком на нити можно вращать вокруг вертикальной оси при помощи электропривода. Вал медленно раскрутили до угловой скорости $\omega=40$ с$^{-1}$.
Какую потенциальную энергию приобрёл грузик к концу раскрутки системы, если считать, что до начала процесса она была равна нулю? Ответ выразите в джоулях и округлите до тысячных.
Какие законы Вы использовали для описания движения грузика? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
Источник: ФИПИ
При вращении грузик на нити отходит в сторону — получается конический маятник. Нить отклоняется от вертикали на угол $\alpha$, грузик описывает горизонтальную окружность. На грузик действуют сила тяжести $mg$ и натяжение нити $T$. Их равнодействующая — это центростремительная сила, направленная к оси. Раскрутка медленная, поэтому в каждый момент грузик движется по окружности постоянного радиуса (второй закон Ньютона для движения по окружности).
Разложим силы. По вертикали: $T\cos\alpha=mg$. По горизонтали (к центру): $T\sin\alpha=m\omega^2 r$, где радиус окружности $r=l\sin\alpha$. Подставляем $r$: $T\sin\alpha=m\omega^2 l\sin\alpha$, откуда $T=m\omega^2 l$. Тогда $\cos\alpha=\dfrac{mg}{T}=\dfrac{g}{\omega^2 l}=\dfrac{10}{40^2\cdot 0{,}3}=\dfrac{10}{480}\approx 0{,}0208$.
Пока маятник стоял вертикально, грузик висел на $l$ ниже точки подвеса. При отклонении он поднялся на $h=l-l\cos\alpha=l(1-\cos\alpha)$. Тогда $E_п=mgh=mgl(1-\cos\alpha)=mgl-\dfrac{mg^2}{\omega^2}$. Считаем: $E_п=0{,}025\cdot 10\cdot 0{,}3-\dfrac{0{,}025\cdot 10^2}{40^2}=0{,}075-0{,}0016\approx 0{,}073$ Дж.
$E_п = 0{,}073$ Дж