ID: 00014758
К верхнему концу тонкого вертикального вала, установленного на неподвижном столе, на невесомой нерастяжимой нити длиной l=30 см подвешен маленький грузик массой m=25 г. Вал с грузиком на нити можно вращать вокруг вертикальной оси при помощи электропривода. Вал медленно раскрутили до угловой скорости \omega=40 с^{-1}.
Какую потенциальную энергию приобрёл грузик к концу раскрутки системы, если считать, что до начала процесса она была равна нулю? Ответ выразите в джоулях и округлите до тысячных.
Источник: ФИПИ
При вращении грузик на нити отходит в сторону — получается конический маятник. Нить отклоняется от вертикали на угол \alpha, грузик описывает горизонтальную окружность. На грузик действуют сила тяжести mg и натяжение нити T. Их равнодействующая — это центростремительная сила, направленная к оси. Раскрутка медленная, поэтому в каждый момент грузик движется по окружности постоянного радиуса (второй закон Ньютона для движения по окружности).
Разложим силы. По вертикали: T\cos\alpha=mg. По горизонтали (к центру): T\sin\alpha=m\omega^2 r, где радиус окружности r=l\sin\alpha. Подставляем r: T\sin\alpha=m\omega^2 l\sin\alpha, откуда T=m\omega^2 l. Тогда \cos\alpha=\dfrac{mg}{T}=\dfrac{g}{\omega^2 l}=\dfrac{10}{40^2\cdot 0{,}3}=\dfrac{10}{480}\approx 0{,}0208.
Пока маятник стоял вертикально, грузик висел на l ниже точки подвеса. При отклонении он поднялся на h=l-l\cos\alpha=l(1-\cos\alpha). Тогда E_п=mgh=mgl(1-\cos\alpha)=mgl-\dfrac{mg^2}{\omega^2}. Считаем: E_п=0{,}025\cdot 10\cdot 0{,}3-\dfrac{0{,}025\cdot 10^2}{40^2}=0{,}075-0{,}0016\approx 0{,}073 Дж.
Ответ: 0,073