L/C контур — Задание 13 ЕГЭ по физике №00014655

Идея

В идеальном контуре энергия не теряется: сумма энергии магнитного поля катушки $\frac{Li^2}{2}$ и энергии электрического поля конденсатора $\frac{q^2}{2C}$ постоянна. В момент, когда ток максимален ($I_m$), весь запас в катушке: $\frac{LI_m^2}{2}$. Это даёт связь между $L$ и $C$, а период находим по формуле Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$.

Считаем

Закон сохранения энергии для момента $t$ и момента максимума тока: $\frac{LI_m^2}{2}=\frac{Li^2}{2}+\frac{q^2}{2C}$.

Отсюда $L\left(I_m^2-i^2\right)=\frac{q^2}{C}$, то есть $LC=\frac{q^2}{I_m^2-i^2}$.

Подставим числа: $I_m^2-i^2=(5\cdot 10^{-3})^2-(3\cdot 10^{-3})^2=(25-9)\cdot 10^{-6}=16\cdot 10^{-6}$ А$^2$, а $q^2=(2\cdot 10^{-9})^2=4\cdot 10^{-18}$ Кл$^2$.

$LC=\frac{4\cdot 10^{-18}}{16\cdot 10^{-6}}=2{,}5\cdot 10^{-13}$ с$^2$, значит $\sqrt{LC}=5\cdot 10^{-7}$ с.

$T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\cdot 5\cdot 10^{-7}\approx 3{,}14\cdot 10^{-6}$ с $=3{,}14$ мкс.