L/C контур — Задание 13 ЕГЭ по физике №00014653

Идея

Контур идеальный, значит полная энергия колебаний сохраняется и в любой момент равна сумме энергии конденсатора и энергии катушки:

$\dfrac{CU^2}{2}+\dfrac{LI^2}{2}=\text{const}$.

В крайних точках вся энергия «собирается» в одном месте: когда ток максимален $I_m$ — вся энергия в катушке ($\dfrac{LI_m^2}{2}$), а когда напряжение максимально $U_m$ — вся в конденсаторе ($\dfrac{CU_m^2}{2}$). Эти максимумы равны полной энергии.

Считаем

Приравняем полную энергию в текущий момент к энергии при максимальном токе:

$\dfrac{CU^2}{2}+\dfrac{LI^2}{2}=\dfrac{LI_m^2}{2}$.

Чтобы убрать неизвестные $L$ и $C$, заметим, что из равенства максимумов $\dfrac{CU_m^2}{2}=\dfrac{LI_m^2}{2}$ следует $C=L\dfrac{I_m^2}{U_m^2}$. Подставляем и сокращаем на $\dfrac{L}{2}$:

$\dfrac{I_m^2}{U_m^2}U^2+I^2=I_m^2$.

Отсюда выражаем амплитуду тока:

$I_m=\dfrac{I}{\sqrt{1-\left(\dfrac{U}{U_m}\right)^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{1-(0{,}6)^2}}=\dfrac{4}{0{,}8}=5$ мА.