Идея

Поле одно и то же, но заряды и массы разные — значит, разное ускорение. Частицы стартуют из покоя, поэтому разгоняются равноускоренно. Свяжем кинетическую энергию с зарядом, полем и временем — а потом сравним частицы в один и тот же момент t.

Шаг 1. Кинетическая энергия через заряд и время

На частицу действует сила F = qE, ускорение a = \dfrac{qE}{m}. Из покоя скорость к моменту t:

v = at = \frac{qE}{m}\,t.

Кинетическая энергия:

W = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{(qEt)^2}{2m} = \frac{q^2 E^2 t^2}{2m}.

Видим главное: при одинаковых E и t энергия W \propto \dfrac{q^2}{m}.

Шаг 2. Берём отношение

\frac{W_2}{W_1} = \frac{q_2^2/m_2}{q_1^2/m_1} = \left(\frac{q_2}{q_1}\right)^2\cdot\frac{m_1}{m_2}.

Подставляем W_2/W_1 = 2 и q_2/q_1 = 2:

2 = 2^2\cdot\frac{m_1}{m_2} = 4\cdot\frac{m_1}{m_2}\;\;\Rightarrow\;\; \frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{2}\;\;\Rightarrow\;\; \frac{m_2}{m_1} = 2.

Подвох — заряд входит в квадрате (через ускорение и через v^2), а масса в первой степени, не запутайся в степенях.

Ответ: \dfrac{m_2}{m_1} = 2.