ID: 00014644
Две частицы с отношением зарядов $q_2/q_1 = 2$ движутся в однородном электрическом поле. Начальная скорость у обеих частиц равна нулю. Определите отношение масс $m_2/m_1$ этих частиц, если отношение их кинетических энергий в один и тот же момент времени после начала движения $W_2/W_1 = 2$. Действием силы тяжести пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Поле одно и то же, но заряды и массы разные — значит, разное ускорение. Частицы стартуют из покоя, поэтому разгоняются равноускоренно. Свяжем кинетическую энергию с зарядом, полем и временем — а потом сравним частицы в один и тот же момент $t$.
На частицу действует сила $F = qE$, ускорение $a = \dfrac{qE}{m}$. Из покоя скорость к моменту $t$:
$$v = at = \frac{qE}{m}\,t.$$
Кинетическая энергия:
$$W = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{(qEt)^2}{2m} = \frac{q^2 E^2 t^2}{2m}.$$
Видим главное: при одинаковых $E$ и $t$ энергия $W \propto \dfrac{q^2}{m}$.
$$\frac{W_2}{W_1} = \frac{q_2^2/m_2}{q_1^2/m_1} = \left(\frac{q_2}{q_1}\right)^2\cdot\frac{m_1}{m_2}.$$
Подставляем $W_2/W_1 = 2$ и $q_2/q_1 = 2$:
$$2 = 2^2\cdot\frac{m_1}{m_2} = 4\cdot\frac{m_1}{m_2}\;\;\Rightarrow\;\; \frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{2}\;\;\Rightarrow\;\; \frac{m_2}{m_1} = 2.$$
Подвох — заряд входит в квадрате (через ускорение и через $v^2$), а масса в первой степени, не запутайся в степенях.
$\dfrac{m_2}{m_1} = 2$.